本記事では順序整域の定義について述べたあと、簿記代数でどのように使われるかを簡単にまとめます。
順序整域(ordered integral domain)とは一言でいうと、全順序をもつ整域です。
整域(integral domain, domain)
順序整域を定義する前に、整域を定義します。
単位元を持つ可換環\( (R,+,\times)\)が整域(integral domain)であるとは、任意の\( a,b\in R \)について
a\times b=0\Rightarrow a=0_r or ~b=0_R
\end{split} \end{equation}
integral domainを単にdomainともいいます。
順序整域(ordered integral domain, ordered domain)
順序整域(ordered integral domain)とは整域\( (R,+,\times)\)であって、正集合と呼ばれる集合\( P\)を持つものをいいます。正集合\( P\)は以下のような性質を持っているものとします。
&\mbox{P1}~&\forall a, b \in R&:a\in P\land b \in P\Rightarrow a + b\in P\\
&\mbox{P2}~&\forall a, b \in R&:a\in P\land b\in P\Rightarrow a \times b \in P\\
&\mbox{P3}~&\forall a \in R&: a\in P\lor -a \in P\lor a=0_R\\
\end{array}\]
\(a\in P \)であることを「\( a\)は正である」「\( a\)は正の要素である」といいます。\( -a\)が正であるとき、「\( a\)は負である」といいます。
正集合\( P\)の3つの性質を言葉で説明すると次のようになります：
- P1：正の要素の和は正である
- P2：正の積は正である
- P3：すべての要素は、正または負またはゼロである
順序整域(ordered integral domain)とは、正負を扱うことのできる整域です。正負を扱えるという性質から、集合内の任意の2元を順位付けることができます（全順序）。正集合\( P\)は、正の整数のようなものです。
ordered integral domainを単にordered domainともいいます。
簿記代数との関係
簿記代数において、順序整域は会計数値の集合として使われます。
会計数値の集合として順序整域を考えることで、会計数値の正負を扱うことができ、それによって大小関係の比較ができます。また、順序整域は可換環なので足し算・引き算・掛け算ができ、整域なので零以外のもの同士を掛けても零にならないという性質もあります。
順序整域の例としては、
- 整数の集合\( \mathbb{Z}\)
- 有理数の集合\( \mathbb{Q}\)
- 実数の集合\( \mathbb{R}\)
が挙げられます。複素数の集合\( \mathbb{C}\)は順序整域にはなりません。なぜなら、複素数は正集合\( P\)を作れないからです。
参考文献
簿記代数のテキストは、こちらが有名です。このテキスト以外に出版されているものがあれば是非教えて下さい。
ProofWikiの以下のページにも、順序整域の定義と証明が載っています。
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Ordered_Integral_Domain
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Total_Ordering_Induced_by_Strict_Positivity_Property
https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Ordered_Integral_Domain
Wikipediaの順序群のページには、（整域ではなく）群と順序が両立するケースについて解説があります。