算術リターンと幾何リターンの違いについて

こんにちは、毛糸です。

本記事では、投資リターンの2つの概念、算術リターンと幾何リターンの違いについてまとめます。

記事中では、時点( t)における資産（株など）の価格を( S_t)と表し、算術リターンと幾何リターンの計算式の違いを説明します。

算術リターンとは

算術リターン（Arithmetric return）は、いわゆるリターン（収益率）として通常イメージするものです。

時点( t)で明らかになる算術リターン( r_t^A)は、次のように計算されます。
begin{equation} begin{split}
r_t^A=frac{ S_{t}-S_{t-1}}{S_{t-1} }=frac{ S_{t}}{S_{t-1} }-1
end{split} end{equation}

すなわり、算術リターンとは、投資額( S_{t-1} )に対する、投資額の増分( S_{t}-S_{t-1})の割合のことです。

この式を変形して得られる
begin{equation} begin{split}
R_tequiv 1+r_t^A=frac{ S_{t}}{S_{t-1} }
end{split} end{equation}は、投資が何倍になったかを示しており、( R_t)を粗収益率（グロスリターン）と呼びます。( r_t^A)は純収益率（ネットリターン）といいます。

幾何リターンとは

時点( t-1)の株価( S_{t-1})は、次の日には( S_t)に変化します。したがって、ある粗収益率( R)を用いて
begin{equation} begin{split}
S_t=S_{t-1}R_t
end{split} end{equation}と表わせます。

資産価格は負にはなりませんので、( R_t)は常に0以上の値を取ります。

ところで、自然対数の底（ネピア数）( e(=2.718cdots))は何乗しても0以上の値になることがわかっていますから、( R_t=e^x)と書いても間違いではありません。

つまり
begin{equation} begin{split}
S_t=S_{t-1}e^x
end{split} end{equation}が成り立ちます。

この( x)を決めてやれば、株価は( S_{t-1})から( S_t)に変化することがわかりますから、( x)はある意味で収益率を表しているといっても良いわけです。

この( x)をあらためて( r_t^G)と表して、
begin{equation} begin{split}
S_t=S_{t-1}e^{r_t^G}
end{split} end{equation}という関係式が成り立つとき、( r_t^G)を幾何リターン（Geometric return）といいます。

この式を変形すると
begin{equation} begin{split}
e^{r_t^G}&=frac{ S_t}{ S_{t-1}}\
Leftrightarrow r_t^G&=logleft( frac{ S_t}{ S_{t-1}}
right)end{split} end{equation}となり、対数が現れます。

幾何リターンは別名、対数リターンと呼ばれますが、それは幾何リターンが価格比( frac{ S_t}{ S_{t-1}})の対数として計算されることに由来しています。

算術リターンと幾何リターンの関係

begin{equation} begin{split}
r_t^A=frac{ 0-S_{t-1}}{S_{t-1} } =-100%
end{split} end{equation}と計算されるのに対して、幾何リターンは
begin{equation} begin{split}
r_t^G=logfrac{ 0}{ S_{t-1}}=-infty
end{split} end{equation}と計算され、かなり差が出ます。