同値関係【簿記数学の基礎知識】

この記事では同値関係の定義を述べます。

同値関係は、2つの異なる対象の間の「関係」を与えることで、その関係の意味で「同じである」ことを主張するのに使われます。

同値関係は複式簿記において、勘定科目の集約を表すときに用いられます。

同値関係(equivalence relation)の定義

集合\( S\)上の関係\( E\) が同値関係であるとは、\( E\)が\( S\)上の二項関係であって、すべての\( a,b,c\in S\)に対して次の3条件を満たすことをいいます。

1. 反射律：\( aEa\)
2. 対称律：\( aEb\Rightarrow bEa\)
3. 推移律：\( aEb\land bEc \Rightarrow aEc\)

反射律は「自分は自分と同値である」ことを意味しています。

対称律は「同値関係は順番によらない」ことを意味しています。

推移律は「同値関係には整合性がある」ことを意味しています。

テキストによっては同値関係を\( x\sim_E y\)のような記号で表すこともあります。

同値関係の例

差が素数で割り切れる（余りが同じ）

\( x,y\in\mathbb{Z}\)に対して、\(x-y \)が素数\( p\)で割り切れるとき\(x\equiv y ~\mathrm{mod}~ p\) と書きます。この二項関係\( \equiv\)は \( \mathbb{Z}\)上の同値関係です。

まず、反射律について\( x\in \mathbb{Z}\)に対して\( x-x=0\)は素数\(p \)で割り切れます（商は\( 0\)です）。したがって反射律を満たします。

次に、\( x\equiv y ~\mathrm{mod} ~p\)のとき、\( y-x=-(x-y)\)もまた素数\(p \)で割り切れます。したがって\(y\equiv x ~\mathrm{mod} ~p \)が成り立ち、対称律を満たしています。

最後に、\(x\equiv y~ \mathrm{mod} ~p \)かつ\(y\equiv z ~\mathrm{mod} ~p \)のとき、\( x-y\)と\( y-z\)はどちらも\( p\)で割り切れます。ここで\( x-z=(x-y)+(y-z)\)と表せるので、\( x-z\)も\( p\)で割り切れます。したがって\(x\equiv z ~\mathrm{mod} ~p \)であり、推移律も成り立ちます。

以上のことから、関係\(\equiv \)は同値関係です。

このように定めた同値関係は「素数\( p\)で割った余りが等しい」という意味で「同じである」ような関係と言えます。余りが等しいものの差をとると、余りが打ち消されるので、差が\( p\)で割り切れるようになります。

友達の友達は友達

もう少しアバウトな例を挙げましょう。

二人の個人の間に定義される「友達である」という関係\( F\)は、「友達の友達は友達」という価値観に基づくと、同値関係と考えることが出来ます。

まず、反射律について（これは若干アヤシイですが）自分と自分は友達であるということを認めることにしましょう。つまり任意の個人\( i\)について\( iFi\)が成り立ちます。そうすると、「友達である」という関係は反射律を満たします。

次に、「\( i\)さんは\( j\)さんの友達、ならば、\( j\)さんは\( i\)さんの友達である」という主張は直感的にも正しいので、対称律\( iFj\Rightarrow jFi\)は満たしています。

最後に、「\( i\)さんは\( j\)さんの友達で、\( j\)さんは\( k\)さんの友達ならば、\( i\)さんは\( k\)さんの友達」と言えるかですが、友達の友達は友達なので、推移律\( iFj\land jFk \Rightarrow iFk\)も成り立ちます。

したがって、友達であるという関係\( F\)は個人の集合における同値関係です。

複式簿記への応用

同値関係は会計システムの構造を考える際に重要になります。同じ「資産」カテゴリーに属する勘定科目をグループ化すると言うような操作を考えるときに、この同値関係が役に立ちます。

例えば「現金」勘定や「売掛金」勘定はいずれも「資産」カテゴリーに属する勘定科目であるといえます。このとき、ある勘定科目が「資産」カテゴリーに分類されるという関係を使って、同値関係を定義することができます。

このようにして同値関係を定義すると、勘定科目を同値関係によって分割することができます。つまり「資産」「負債」「純資産」の各カテゴリーに属するような勘定科目をそれぞれグループ化することとで、勘定科目の集約を考慮した新たな（別の）財務諸表を得ることができます。

参考文献

同値関係の定義と例については、以下の書籍を参考にしました。集合や数に関する基礎的な（簡単な、ではありません）内容を学ぶことのできる良いテキストです。

同値関係の定義は、会計システムの代数構造に関する以下の書籍にも載っています。こちらのテキストでは、同値関係による勘定の集計を更に発展させて、会計システムの代数構造を研究しています。

【君の知らない複式簿記】シリーズはこちらからどうぞ。