圏(けん、category)【簿記数学の基礎知識】

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この記事では圏(けん、category)の定義を紹介したあと、会計システムの圏について触れます。

本記事の内容は以下の書籍を参考にしています。

圏の素朴なイメージ

圏とは素朴にいえば、適当な共通項をもつ「対象」と、その間に存在する関係を示す「射」からなる、構造を持ったまとまりです。

例えば、の性質をもつ集合たちを対象として考えます。環と環の間には、構造を保つ写像である準同型写像というものを考えることが出来ます。この準同型を射と考えたとき、環と環準同型によって「環の圏」を考えることが出来ます。

しかしながら、圏はこのような代数的なもの以外にも、さまざまな対象と射の組み合わせで考えることが出来ます。以下に述べる圏の定義(公理)を満たすものであれば、どんな圏でも作ってよいのです。

圏の定義(公理)

圏\( \mathscr{ A }\)とは

    • 対象(object)の集まり\(\mathrm{ob}\left(\mathscr{ A } \right) \)
    • 各\(A,B \in \mathrm{ob}\left(\mathscr{ A } \right) \)について\( A\)から\( B\)への射(map, morphism)または矢印(arrow)\(\mathscr{ A }\left(A,B \right) \)
    • 各\(A,B,C \in \mathrm{ob}\left(\mathscr{ A } \right) \)について、合成(composition)とよばれる関数
      \begin{alignat*}{2}
      \mathscr{ A }\left(B,C \right)&\times \mathscr{ A }\left(A,B \right)&&\to\mathscr{ A }\left(A,C \right)\\
      (g&,f)&&\mapsto g\circ f
      \end{alignat*}
    • 各\(A \in \mathrm{ob}\left(\mathscr{ A } \right) \)について、\( A\)上の恒等射(identity)とよばれる\(\mathscr{ A }\left(A,A \right) \)の元\( 1_A\)

から構成されるものであり、以下の公理を満たすもののことです。

  • 結合法則:任意の\( f\in\mathscr{ A }\left(A,B \right)\),\( g\in\mathscr{ A }\left(B,C \right)\),\( h\in\mathscr{ A }\left(C,D \right)\)について\((h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f) \)
  • 任意の\( f\in\mathscr{ A }\left(A,B \right)\)について\(f\circ 1_A=f=1_B\circ f \)が成り立つ

 

複式簿記への応用

複式簿記の代数構造の研究において、圏論の言葉による定式化は知られていません。

しかし、クローズドなコミュニティにおいて「会計システムの圏」について議論されている例はあります。

「会計システムの圏」では、代数の言葉で定義された会計システム(抽象会計システム)に準同型を定めることで、個別の会計システムを対象とし、会計システムの準同型を射とする圏が考察されています。

圏論は個々の対象の性質に注目するのではなく、対象と射がなす大局的な構造を理解するのに役立ちます。会計システムの圏を考える際にも、そういった視点を提供できる可能性があります。

参考文献

圏論の基礎的な内容を扱うテキストとして、以下が挙げられます。明快な語り口と豊富な例によって、無味乾燥になりがちな圏論をイメージ豊かに学ぶことが出来ます。

圏論に関する入門的な書籍として、以下もおすすめです。圏を考える意味やイメージ、圏論がどんなことに役立つのかを、対話形式で学べます。

会計システムの代数的表現やその準同型については、こちらのテキストで扱われています。いわゆる簿記代数の(おそらく唯一の)テキストです。

このブログで不定期連載中の【君の知らない複式簿記】では、簿記の代数構造に関する研究結果を紹介しています。

【君の知らない複式簿記】シリーズはこちらからどうぞ

 

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