線型写像の定義
\( V\)を\(m \)次元ベクトル空間，\( W\)を\(n \)次元ベクトル空間とします。
写像\( f:V\to W\)が線型写像とは，\( m\)次元ベクトル\( \boldsymbol{ a},\boldsymbol{ a_1},\boldsymbol{ a_2}\in V\)とスカラー\( c\)に対して以下が成り立つことをいいます。
- 加法性：\( f(\boldsymbol{ a_1}+\boldsymbol{ a_2})=f(\boldsymbol{ a_1})+f(\boldsymbol{ a_2})\)
- 斉一次性：\( f(c\boldsymbol{ a})=cf(\boldsymbol{ a})\)
上記1と2を合わせて線型性といいます。
\( f\)を変換とよぶことにすると，加法性とは「和の変換は，変換の和」と言い表せます。斉一次性は「スカラー倍の変換は，変換のスカラー倍」と言い表せます，
\( f\)が線型写像であるとき，\( m\)次元ベクトル\( \boldsymbol{ a_1},\boldsymbol{ a_2},\cdots\)とスカラー\( c_1,c_2,\cdots\)に対して以下が成り立ちます。
f\left( \sum_i c_i\boldsymbol{ a_i}\right)=\sum_i f\left( c_i\boldsymbol{ a_i}\right)
\end{split} \end{equation}
線型写像はベクトル空間の準同型
線型写像はベクトル空間の準同型とも言えます。
ベクトル空間とは体上の加群であり，加群は和とスカラー倍を扱うことができます。
準同型とは「構造を保つ」ような写像のことで，「和の変換は，変換の和（加法性）」と「スカラー倍の変換は，変換のスカラー倍（斉一次性）」という性質が「構造を保つ」ということです。
線型写像の例
線型写像は数学のさまざまなシーンに表れます。以下では特に有名なものを挙げます。いずれも線型写像の定義域と値域がベクトル空間であることをまず示す必要がありますが，そこは端折ります。
定積分
\( \mathbb{R}\)上の適当な区間\( [a,b]\)上で定義された実数値可積分関数の空間\( F=\left\{f|f:[a,b]\to \mathbb{R} \right\}\)を考えます。
この区間での定積分は線型写像です。以下のように線型性を確かめられます。
\( f,g\in F\)に対して\( \int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^b f(x) dx +\int_a^b g(x)dx\)なので加法性が成り立ちます。
また\( f\in F\)と\( c\in \mathbb{R}\)に対して\( \int_a^b cf(x)dx=c\int_a^b f(x) dx\)なので斉一次が成り立ちます。
微分
微分は，微分可能な関数の空間から関数空間全体への写像であり，線型写像です。以下のように線型性を確かめられます。
微分可能な関数\( f,g\)に対して\( (f+g)’=f’+g’\)なので加法性が成り立ちます。
また微分可能な関数\( f\)とスカラー\( c\)に対して\((cf)’=c f’ \)なので斉一次が成り立ちます。
期待値
確率変数の期待値も線型写像です。以下のように線型性を確かめられます。
確率変数\( X,Y\)に対して\( \mathbb{E}\left[ X+Y\right]=\mathbb{E}\left[ X\right]+\mathbb{E}\left[Y \right]\)なので加法性が成り立ちます。
また確率変数\( X\)とスカラー\( c\)に対して\(\mathbb{E}\left[c X\right]=c\mathbb{E}\left[ X\right] \)なので斉一次が成り立ちます。
複式簿記への応用
複式簿記は，環\( R\)上の自由加群\( R^n\)から環\( R\)上の加群\( M\)への加群準同型\( \sigma:R^n \to M\)の核\( \mathrm{ker} \sigma\)の構造をもちます。
上述の線型写像は加群準同型の特別な場合なので，線型写像\( f\)の核\( \mathrm{ker} f\)も複式簿記が備えるべき性質をもっているといえます。
通常の複式簿記で扱うのは整数ベクトルの空間ばかりです。しかし定積分や期待値が線型写像であると考えると，定積分すると0になる関数の空間（定積分という線型写像の核）や期待値が0になる確率変数の空間（期待値という線型写像の核）もまた，複式簿記と類似の構造を持っていることになります。
こう考えると，複式簿記「的な」性質は，実はとても基本的な性質なのだと言えそうです。
参考文献
本記事は以下の書籍を参考にしました。線型代数の由緒正しいテキストです。ベクトルと行列の基本的な演算からはじめて，ベクトル空間論やテンソルなど抽象的な代数の世界へと導いてくれます。
Wikipediaの線型写像のページも参考にしました。
このブログで不定期連載中の【君の知らない複式簿記】では、簿記の代数構造に関する研究結果を紹介しています。
【君の知らない複式簿記】シリーズはこちらからどうぞ。