この記事では代数学における重要概念，準同型写像（以下，準同型）について，直感的な説明と定義を与えます。
複式簿記の数学的研究において， 準同型がどのように登場するかも解説します。
準同型写像のイメージ
準同型とは，何らかの構造を伴う2つの集合が与えられたときに，その間の「構造を保つ」写像をいいます。
ここでいう構造とは「集合と集合内での計算ルール」のことです。ある集合とそこで定義される演算のペアをセットにして考えることで，その集合に構造を与えることができます。ルールや法則と言ってもいいかもしれません。
たとえば，例えば整数の集合\( \mathbb{Z}\)に足し算\( +\)を入れて考えたり，正の実数\( \mathbb{R}\)に掛け算\( \times\)を入れて考えたりします。これらはその集合の中で演算が完結しており，一定の規則性を持っています。
ある集合とその上で定義された演算を考え，それが群の公理を満たすとき「群の構造が入る」などといいます。他にも，環の構造や体の構造が有名です。ベクトル空間もある種の構造です。
2つの集合が与えられたときに，それらが「同じ」かどうかは，集合間の写像が存在するかを調べます。このとき，構造が入った2つの集合が構造まで含めて「同じ」かどうかは，集合としての対応と演算としての対応を同時に考える必要があります。
その対応関係を表すのが準同型です。
準同型写像の定義
ここでは群の準同型の定義を与えます。\( G,G’\)を群とし，その演算を乗法的に書きます。
\( f:G\to G’\)が群の準同型であるとは，\( x,y \in G\)に対して
f(xy)=f(x)f(y)
\end{split} \end{equation}
\( xy\)は群\( G\)における\( x\)と\(y \)の積で，\( f(xy)\)は群\( G’\)の元です。
また，\( f(x)f(y)\)は群\( G’\)における\( f(x)\)と\(f(y) \)の積です。
準同型とは，群\( G\)における\( x\)と\(y \)の積を写像\( f\)で\( G’\)に写した\( f(xy)\)が，\( x\)と\(y \)のそれぞれを写像\( f\)で\( G’\)に写した\( f(x)\)と\( f(y)\)の積に等しいということをいっています。
つまり，群\( G\)での演算が，写像\( f\)で写した先の群\( G’\)での演算と整合しているという意味で，「構造を保つ」といえるのです。
複式簿記への応用
複式簿記における勘定の追加や統合は、準同型写像によって表現できます。
たとえば，現金，預金，売掛金，…，という勘定科目はいずれも資産という大科目に属する科目です。
現金が増やす（現金という集合で演算を行う）と，それに伴って大科目の資産も増えるのが通常ですから，勘定科目と大科目においては構造が保たれています。
こうした構造は準同型によって定義されます。
参考文献
この記事は以下のテキストを参考にしました。昔から愛される名著として名高い教科書で，高校2年生くらいの理解があれば読めるように丁寧に書かれています。群や準同型の詳しい説明があります。
集合間の写像については，こちらの記事も参考になります。
【君の知らない複式簿記】シリーズはこちらからどうぞ。
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