2019年 6月 の投稿一覧

こんにちは、毛糸です。

仕事や日常生活でイベントが重なり、猫の手も借りたくなるほど忙しいときには、誰しも「こんなに予定を入れるんじゃなかった！」と後悔することがあるでしょう。

ときには忙しすぎて、何かを犠牲にせざるを得なかったり、予定をズラしてもらうなどしてその場をしのぐこともあります。

もちろん、予定が上手く回っていれば、限りある時間を有効活用できた、と満足できるわけですが、ひとたび歯車が狂うと、いろいろなところでひずみを生じさせます。

やや形式的に表現するなら、将来へのコミットメントは、ハイリスク・ハイリターンである、ということでしょう。

逆に、コミットメントを少なくすること、つまり身軽でいることを徹底していれば、その都度時間の使い方を考えねばならない代わりに、予定に忙殺されることなく過ごすことが出来ます。

身軽でいるということは、意思決定に柔軟性をもたせることができる、と考えることが出来ます。

さて、ビジネスにおいて、意思決定に柔軟性をもたせることは、企業価値を高めることが知られています。

意思決定の柔軟性は「リアル・オプション」と呼ばれ、昨今の激しい経済情勢においては重要な考え方とされています。

将来にコミットしすぎず、身軽でいるということは、自分の時間にリアル・オプション価値をもたせることである、とも考えられます。

もちろん、意思決定に柔軟性をもたせるということは、意思決定の都度かかるコストが余計にかかるということでもありますから、常に良いことであるとは限りません。

しかし、予定を立てすぎないことから生じるリアル・オプション価値を大事にするというのは、日々の暮らしにおいて重要な考え方であるように思います。

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こんにちは、毛糸です。

先日の記事で、主要な株価指数から計算する日次リターンが、正規分布に従わないことを確かめました。
>>日本株式、米国株式、欧州株式、全世界株式の日次リターンが正規分布ではなかった件

この記事を見て「ファイナンス理論は嘘だった！」と受け取る方もいたようです。

しかし、このような態度は学術的に価値あるものではないように思います。

本記事では「リターンは正規分布でない」とわかったあとに我々が考えるべきことは何か、ファイナンスの数理モデルにおいて正規分布を仮定していたのにはどういう意味があったのかということについて考えてみたいと思います。

正規分布の仮定と現実の分布の差異

ファイナンス理論ではしばしば、資産価格のリターンは正規分布に従うと仮定されます。

分散投資の理論的根拠とも言われるマーコウィッツの平均分散分析や、シャープらのCAPM（資本資産価格モデル）も、リターンが正規分布に従うときに成り立つ命題です。

また、ファイナンスの数理分析が広がる契機となったブラック・ショールズモデルも、資産の瞬間的な収益率が正規分布に従うという性質を持ちます。

マートンの最適ポートフォリオ理論も、ブラック・ショールズモデルと同様、瞬間的な収益率が正規分布に従うような資産を考えるときにエレガントな結果が得られることがわかっています。

このように、「リターンが正規分布に従う」というのは、教科書的なファイナンスの世界ではスタンダードな仮定であり、その前提を基に膨大な研究成果が蓄積されています。

ところが、下記記事で分析している通り、主要な株価指数の日次リターンは、正規分布に従っていません。
>>日本株式、米国株式、欧州株式、全世界株式の日次リターンが正規分布ではなかった件

理論の前提が現実を捉えきれていないというこの状況を「理論の敗北」と捉える人もいるでしょう。

しかし、そういった考え方は果たして適切なのでしょうか。

数理モデルを考える意味とは

この世の現象を完全に説明できる「万能の理論」などというものはありません。

縮尺１：１の地図は役に立たない

というのは、数理モデルを扱うを行う人がよく使う格言ですが、現実を捨象し分析に関係ある部分を抽象化して考える「モデル分析」を行う場合には、どうしても現実と不整合な部分が出てこざるを得ません。

ファイナンスにおける正規分布の仮定も、こうした「抽象化」の産物です。

つまり、現実にはリターンが正規分布に従っていないことはわかっているけれども、ファイナンスにおいて重要な意味をもつ「リスク」に関する洞察が得られやすく、数学的にも扱いやすいため、正規分布を仮定しているのだということです。

分析したい対象によって、捨象すべき部分は思い切って捨て去る、そうすることでシャープな結論が得られ、世界を理解することにつながります。

リターンが正規分布に従わないという現実はたしかにありますが、リターンの分布という特徴を敢えて捨象することで、ファイナンスは多くの発見を生み出してきたということです。

理論の前提が現実とが整合していなくとも、分析対象について良い考察が得られれば価値がある。

これが科学的態度です。

理論が現実と違うとわかった私たちが、このあと考えるべきこと

リターンの正規性という理論の前提は、現実には成り立っていない。

それを知った私たちは、その後どんな態度をとるべきでしょうか。

間違っても「理論の前提がおかしい！既存理論は無意味だった！」と吹聴してはいけません。

理論はあくまで分析に必要なもののみをすくい取り、関係ない部分を捨象しているので、モデルと現実が乖離するのは当たり前です。

悲しいことに、投資家の間では、過去何度も、こうした建設的でない批判が繰り返されてきたようです。
参考記事>>分散投資を批判した後の対案がそれ以上に酷い法則-梅屋敷商店街のランダム・ウォーカー（インデックス投資実践記）

現実とモデルが違うなんてことはみんなわかっていて、わかっていてなお有用だから、使われているわけです。

理論と現実の差異に気づいたあとに取るべきスタンスは

1. 理論と現実の差を受け入れ、単純化した世界（モデル）で成り立つ命題を受け入れる
2. 理論と現実の差を埋めるような、新たな手法やモデルを開発する

もし標準的なモデルが自分の分析において不都合なら、自分に必要なモデルを自分で作ればいいだけの話です。

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こんにちは、毛糸です。

先日、ファーマ−フレンチの3ファクターモデルのデータが無料で手に入るという記事を書きました。
>>ファーマ-フレンチの3ファクターモデルのデータを入手する方法


ここで手に入るデータには、市場ポートフォリオのリターンデータが含まれています。

本記事ではこの市場ポートフォリオのリターンデータが、ファイナンスでしばしば仮定される「正規分布」に従わないことを確かめてみます。

日本、アメリカ、ヨーロッパ、全世界の市場ポートフォリオ

日本株式のリターン、リスク、正規性

まとめ

こんにちは、毛糸です。

本記事ではファーマ-フレンチの3ファクターモデルを使うにあたり必要となる、市場ポートフォリオ、時価総額（SMB）ファクター、簿価時価比率（HML）ファクター、無リスク金利のデータを入手する方法を解説します。

上記データは、ケネス・フレンチ教授のホームページから無料で、1990年からの長期にわたる時系列データが手に入ります。

ファーマ-フレンチの3ファクターモデル(Fama-French three factor model)のヒストリカルデータ

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こんにちは、毛糸です。

2017年頃の仮想通貨バブルは「億り人」という言葉を生むほど、高い収益機会として注目され、一攫千金の夢を見させてくれました。
>>ビットコインはバブルである

通貨FXの期待リターンは0

FXや外貨預金の期待リターンに関しては、下記書籍に説明があります。

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ビットコインFXに金利平価は働かない

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ビットコインFXの期待リターン

ビットコインFXの狂乱の理由

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まとめ

こんにちは、毛糸です。

ファイナンス（金融工学）において、正規分布は資産の収益率をモデル化するために頻繁に用いられます。

投資対象となる資産は通常1つだけではなく、複数資産を扱いたいことも多いですから、その場合には多次元の正規分布を考えなければなりません。

本記事では統計プログラミング言語Rで多次元正規分布に従う確率変数ベクトルを生成する方法について説明します。

ライブラリ「MASS」による多次元（多変量）正規分布の乱数発生

多次元（多変量）正規分布に従う確率変数ベクトルは、多変量解析用パッケージのMASSのmvrnorm()を使って発生させることが出来ます（公式リファレンスのPDFはこちら）。

mvrnorm()は、発生させる確率変数ベクトルの個数n、期待値ベクトルmu、分散共分散行列Sigmaを与え、n組の確率変数ベクトルを返す関数です。

例えば、( mu=(1,1))、分散共分散行列( Sigma=left(  begin{array}{cc}1&0\0&1end{array}right))の2次元正規分布に従う確率変数( (x_1,x_2))を発生させるには、以下のように記述します。

#MASSライブラリを読み込む
library(MASS)
#期待値ベクトル
mu0<-c(1,1)
#分散共分散行列
Sigma0<-rbind(
  c(1,0),
  c(0,1)
)
#多次元正規分布に従う確率変数ベクトルを1組発生
mvrnorm(1,mu0,Sigma0)
#[1]  1.8590647 -0.6548381

参考>> 元データ分析の会社で働いていた人の四方山話_多変量正規分布

例題：年金資産の収益率

（出所：https://www.gpif.go.jp/gpif/portfolio.html）

[ begin{split}
Sigma=diag(S) cdot P cdot diag(S)
end{split} ]で表せます。ただし( diag(S))は( S)を対角成分に持つ対角行列で、「( cdot)」は通常の行列積（Rでは%*%）です。

#各資産クラスの期待リターン
mu<-c(2.6/100, 6.0/100, 3.7/100, 6.4/100, 1.1/100)
#各資産クラスの分散（標準偏差の２乗）
sigma<-c(0.047,0.251,0.126,0.273,0.005)
#相関行列
Rho<-rbind(
    c(1,-0.16,0.25,0.09,0.12),
    c(-0.16,1,0.04,0.64,-0.1),
    c(0.25,0.04,1,0.57,0.15),
    c(0.09,0.64,0.57,1,-0.14),
    c(0.12,-0.1,-0.15,-0.14,1))
#分散対角行列
sigma_diag<-diag(sigma)
#分散共分散行列
Sigma<-sigma_diag%*%Rho%*%sigma_diag
#多次元正規分布の発生
X <- mvrnorm(10000, mu, Sigma)

結果の確認

こうして得られた6次元確率変数ベクトルの1万個について、標本平均と標本標準偏差を計算すると、大数の法則により、パラメタとして与えたmuとsigmaに近くなるはずです。

Xは、行にサンプル数n、列に確率変数ベクトルの要素が並んでいます。列に対して平均meanと標準偏差sdを適用するには、apply(X,MARGIN=2,mean)という関数を使います。MARGIN=1はXの「列」方向に関数を適用するという意味です。
参考>>24. apply() ファミリー

#各要素の平均を計算（経済中位ケース）
apply(X,2,mean)*100
#[1] 2.591798 5.739046 3.773379 6.390514 1.097378 2.793776

#各要素の標準偏差を計算
apply(X,2,sd)*100
#[1]  4.6795340 25.1717768 12.6962985 27.2644081  0.5005285  1.9114364

いずれも理論値に近い値になっています。

まとめ