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金融


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会計数値の時系列構造を決める関係式|クリーン・サープラス関係、金融資産関係、営業資産関係

こんにちは、毛糸です。

こんな本を読んでいます。

この本は、企業が発行する株式を評価する手法を、会計学と経済学の立場から論じる研究書です。

この中に、会計学における重要な方程式が取り上げられていたので、メモしておきます。

クリーン・サープラス関係(Clean Surplus Relation, CSR)

クリーン・サープラス関係(Clean Surplus Relation, CSR)とは、企業の純資産の変動を示す以下の関係式のことです。

\begin{equation} \begin{split}
bv_t=bv_{t-1}+ni_t-d_t
\end{split} \end{equation}

ここで\( bv_t\)は時点\( t\)における純資産の金額、\( ni_t\)は純利益、\( d_t\)は配当を示しています。

つまり、ある時点の純資産額は、一期前の純資産額に、その期の利益を加え、株主に支払った額を差し引いた金額として定まる、ということです。

純資産額\( bv_t\)は、金融(純)資産\( fa_t\)と営業(純)資産\( oa_t\)に分けられると仮定します。

\begin{equation} \begin{split}
bv_t=fa_t+oa_t
\end{split} \end{equation}

純利益\( ni_t\)は、金融(純)利益\( fi_t\)と営業(純)利益\( oi_t\)に分けられると仮定します。

\begin{equation} \begin{split}
ni_t=fi_t+oi_t
\end{split} \end{equation}

金融資産関係(Financial Asset Relation, FAR)

金融資産関係(Financial Asset Relation, FAR)とは、金融(純)資産の変動を示す以下の関係式のことです。

\begin{equation} \begin{split}
fa_t=fa_{t-1}+fi_t+fcf_t-d_t
\end{split} \end{equation}

ここで\( fcf_t\)は時点\( t\)におけるフリーキャッシュフローです。

金融資産関係が成り立つためには、株主への配当は金融(純)資産を通じて行われるという前提を置く必要があります。

この前提のもとで、ある時点の金融(純)資産額は、一期前の金融(純)資産額に、その期の金融(純)利益とフリーキャッシュフローを加え、株主に支払った額を差し引いた金額として定まります。

営業資産関係(Operating Asset Relation, OAR)

営業資産関係(Operating Asset Relation, OAR)とは、営業(純)資産の変動を示す以下の関係式のことです。

\begin{equation} \begin{split}
oa_t=oa_{t-1}+oi_t-fcf_t
\end{split} \end{equation}

営業資産関係(OAR)は、クリーン・サープラス関係(CSR)と金融資産関係(FAR)が成り立つときには当然成り立ちます。

ある時点の営業(純)資産額は、一期前の営業(純)資産額に、その期の営業(純)利益を加え、フリーキャッシュフローを差し引いた金額として定まります。

会計ベースの資産価格理論

CAR、FAR、OARは、ファイナンスの基本原則「無裁定の原則」と組み合わせると、会計数値をベースとした資産価格理論につながっていきます。
ファイナンスでは、ある資産が生み出す配当や利息の割引現在価値が、その資産の価格に等しいという関係式を考察しますが、これは基本的にはキャッシュフローの世界の考え方です。
しかし、上記のような会計関係(Accounting Relation(s))を組み合わせることで、キャッシュフローの世界から、会計数値の世界へと、資産価格の理論を発展させることができます。
もし興味があれば、財務諸表分析などを扱うテキストに説明があるので、読んでみると良いでしょう。

算術リターンと幾何リターンの違いについて

こんにちは、毛糸です。

本記事では、投資リターンの2つの概念、算術リターンと幾何リターンの違いについてまとめます。

記事中では、時点( t)における資産(株など)の価格を( S_t)と表し、算術リターンと幾何リターンの計算式の違いを説明します。

算術リターンとは

算術リターン(Arithmetric return)は、いわゆるリターン(収益率)として通常イメージするものです。

時点( t)で明らかになる算術リターン( r_t^A)は、次のように計算されます。
begin{equation} begin{split}
r_t^A=frac{ S_{t}-S_{t-1}}{S_{t-1} }=frac{ S_{t}}{S_{t-1} }-1
end{split} end{equation}

すなわり、算術リターンとは、投資額( S_{t-1} )に対する、投資額の増分( S_{t}-S_{t-1})の割合のことです。

この式を変形して得られる
begin{equation} begin{split}
R_tequiv 1+r_t^A=frac{ S_{t}}{S_{t-1} }
end{split} end{equation}は、投資が何倍になったかを示しており、( R_t)を粗収益率(グロスリターン)と呼びます。( r_t^A)は純収益率(ネットリターン)といいます。

幾何リターンとは

時点( t-1)の株価( S_{t-1})は、次の日には( S_t)に変化します。したがって、ある粗収益率( R)を用いて
begin{equation} begin{split}
S_t=S_{t-1}R_t
end{split} end{equation}と表わせます。

資産価格は負にはなりませんので、( R_t)は常に0以上の値を取ります。

ところで、自然対数の底(ネピア数)( e(=2.718cdots))は何乗しても0以上の値になることがわかっていますから、( R_t=e^x)と書いても間違いではありません。

つまり
begin{equation} begin{split}
S_t=S_{t-1}e^x
end{split} end{equation}が成り立ちます。

この( x)を決めてやれば、株価は( S_{t-1})から( S_t)に変化することがわかりますから、( x)はある意味で収益率を表しているといっても良いわけです。

この( x)をあらためて( r_t^G)と表して、
begin{equation} begin{split}
S_t=S_{t-1}e^{r_t^G}
end{split} end{equation}という関係式が成り立つとき、( r_t^G)を幾何リターン(Geometric return)といいます。

この式を変形すると
begin{equation} begin{split}
e^{r_t^G}&=frac{ S_t}{ S_{t-1}}\
Leftrightarrow r_t^G&=logleft( frac{ S_t}{ S_{t-1}}
right)end{split} end{equation}となり、対数が現れます。

幾何リターンは別名、対数リターンと呼ばれますが、それは幾何リターンが価格比( frac{ S_t}{ S_{t-1}})の対数として計算されることに由来しています。

算術リターンと幾何リターンの関係

算術リターンと幾何リターンは、いずれもリターン(収益率)を表す指標ですが、一見するとその計算方法はまるで異なっています。
しかし、実は両者には密接な関係があるのです。
数学的な話を後回しにして結論を述べると、リターンがあまり大きくないときには、
begin{equation} begin{split}
r_t^Afallingdotseq r_t^G
end{split} end{equation}つまり算術リターンと幾何リターンはほぼ同じ値になります。

証明

幾何リターンと算術リターンの定義から、
begin{equation} begin{split}
r_t^G&=logleft( frac{ S_t}{ S_{t-1}}right)\
&=logleft( 1+frac{ S_t-S_{t-1}}{ S_{t-1}}right)\
&=logleft( 1+r_t^Aright)\  end{split} end{equation}が成り立ちます。

対数関数( log(1+x))は( x)が小さいとき、( x)に近似することが知られているので、
begin{equation} begin{split}
logleft( 1+r_t^Aright)fallingdotseq r_t^A
end{split} end{equation}となり、( r_t^Afallingdotseq r_t^G )がわかります。

対数関数( log(1+x))が( x)に近似することは、対数関数をマクローリン展開することでわかります。

算術リターンと幾何リターンの性質の違い

算術リターンと幾何リターンは、リターンが小さければほぼ同じ値を取りますが、リターンが大きければその差は無視できないものになります。
たとえば暗号資産のリターンは、一日で倍増したり半減したりしますから、算術リターンと幾何リターンの違いは大きくなります。
また、投資額が0になるような最悪のケースでは、算術リターンは

begin{equation} begin{split}
r_t^A=frac{ 0-S_{t-1}}{S_{t-1} } =-100%
end{split} end{equation}と計算されるのに対して、幾何リターンは
begin{equation} begin{split}
r_t^G=logfrac{ 0}{ S_{t-1}}=-infty
end{split} end{equation}と計算され、かなり差が出ます。

以下の図は青線で算術リターンを、緑線で幾何リターンを、それぞれ表していますが、常に算術リターンのほうが大きな値を取ることがわかります。
投資成績がふるわないときは、算術リターンを使うことでマイナス幅を小さめに表現することができます。
公表されるリターンが算術リターンなのか幾何リターンなのかは、十分注意する必要があります。

クリーン・サープラス関係と最適配当戦略

こんにちは、毛糸です。

最近、企業の配当はどう決まるか?ということを考えています。

配当とは、企業が獲得した利益を株主に分配することであり、株主にとってみれば投資の回収を意味します。

配当は、会計的には純資産の一部を取り崩すと同時に現預金を社外に流出させるものです。

配当と純資産などの会計数値の関係は、以下の「クリーン・サープラス関係」と呼ばれる関係式で記述されます。

\begin{equation}\begin{split}
B_t=B_{t-1}+e_t-d_t
\end{split}\end{equation}

この式は、時点\(t\)における純資産の額\(B_t\)は、1期前の純資産額\(B_{t-1}\)に\(t\)期の利益\(e_t\)を加え、配当\(d_t\)を差し引いた額として決まる、という規則を示しています。

配当\(d_t\)はキャッシュフローであるのに対し、純資産額\(B_t\)や利益\(e_t\)は会計数値ですから、キャッシュフローを中心とした理論展開が行われるファイナンスと会計とは、このクリーン・サープラス関係を通じて関連付けられることになります。

ファイナンスでは配当の割引現在価値として株価が決まるという「配当割引モデル」がよく知られていますが、これをクリーン・サープラス関係と組み合わせることで、会計数値に立脚した「残余利益モデル」と呼ばれる会計数値ベースの株式評価モデルが構築できます。

配当割引にせよ残余利益モデルにせよ、配当はそれ自体が確率変数であると考えて理論展開されることが多いです。

しかしながら、配当は企業が株主との関係を伺いながら、ある意味で「適切な」水準で「決定」するものです。

したがって、その決定プロセスを考察することなしに、天下り的に確率変数(ランダムな変数)と考えてしまうのはよくないのではないかと考えています。

私はこの問題意識に基づき、企業はどんな意思決定に基づき「最適な配当戦略」を決めているのかを、経済学的観点から検証しています。

何か発見があったら、ブログでも取り上げたいと思います。

「高利回りのヘッジファンド」について金融庁に問い合わせてみた

こんにちは、毛糸です。

先日、金融庁から「老後までに2,000万必要」とも読める報告書が公開され、多くの国民が投資に意識を向けています。

【参考記事】
【年金は頼れない?】「老後までに2,000万」報告書を読んだあとに私たちが取るべき行動

老後に豊かな生活を送るには「リスクをとる」必要があるということを多くの人が認識し始めていますが、同時に金融詐欺の話もちらほら聞こえてきます。

先日私の友人から「平均利回り10%超のヘッジファンドがあるんだが、どうだろう?」という相談を受けました。

ヘッジファンドとは「金融派生商品など複数の金融商品に分散化させて、高い運用収益を得ようとする代替投資の一つ」(Wikipedia)であり、デリバティブなどの複雑な金融商品を利用して高いリターンの獲得を目的とする基金(ファンド)や運用主体のことを言います。

調べてみるとヘッジファンドに関する情報源はいくつかあり、ヘッジファンドを比較するサイトもいくつかあります(あえてリンクは載せません)。

友人から相談を受けた(ヘッジファンド)(本記事ではカッコを付けて呼称します)についても、比較サイトにはよく取り上げられているようなので、少し調べてみました。

しかし、どうも怪しいのです……

ヘッジファンド比較サイトのランキング上位に、いくつもの疑念

ぱっと気になった点だけでも

  • 金融商品取引業者の登録がない
  • ホームページに代表者名がない
  • 本店所在地が普通のマンション
  • 投資成績などの情報は個人情報を開示して問い合わせないと入手できない
  • 個人発信と思われる口コミがほぼない
  • ファンドを標榜する合同会社に直接出資する謎スキーム

などなど、引っかかる点がたくさんあります。

友人曰く「検索上位のサイトでおすすめされているから、たくさんの閲覧者がいる信頼できる情報だよ」とのことですが、検索上位であることは法的に信頼できる情報であることを意味しません。

直接話を聞きに行きたいという話も聞いていましたが、相手が「よからぬ輩」である可能性も否めません。

そこで、金融の専門相談窓口に電話してみることにしました。

投資詐欺かも?と思ったときの相談窓口

金融サービス利用者相談室は「あやしいな」「投資しても大丈夫なのかな」といった相談にも乗ってくれる金融庁の窓口です。

金融サービス利用者相談室より

こちらに電話をかけ、(ヘッジファンド)の名称や、その情報に行き着いた経緯をお話したところ、以下のような回答が得られました。

  • 金融商品取引業者や適格機関投資家等特例業者に登録・届け出はない
  • 無登録で業務を行っている、証券投資を業として行っていない詐欺的なもの、そのいずれか
  • 個人情報を渡すことになるので、連絡したり会ったりすべきではない

平たく言うと「付き合っちゃいけない人たちの可能性が高い」ということですね。

適格機関投資家等特例業者は登録が要らない?

ヘッジファンドについては、Wikipediaに「監督官庁に届け出る義務や規制がなく」と記載されていますがこれは誤りであり、日本においては金融商品取引法で明確に規制されています。

金融商品取引法においては、いわゆるファンド業務を行う者は、金融商品取引業者の登録を行うか、適格機関投資家等特例業務の届出を行わなければいけません。

【参考】
ファンド関連ビジネスを行う方へ(登録・届出業務について)-金融庁

あるまとめサイトにはこの(ヘッジファンド)について、適格機関投資家等特例業者等で少人数にしか勧誘を行わない私募であるから、規制は受けないのだ、と書いてありましたが、もし適格機関投資家等特例業者等であるとすると金融庁のこちらのページに公開されているはずです。

しかしこの(ヘッジファンド)の名前は見つかりませんでした……

この事実を知った私の知人も、さすがに実際に会いに行くのは諦めたようです。

自分のお金と命を守るリテラシーをもとう

金融に関する規制は、我々一般市民を不慮の損害から守るための大切なルールであり、一般的な金融機関であれば法令遵守の重要性を強く認識しています。

しかし一部の悪質な(詐欺的な)集団は、「高利回り」「損失なし」といった謳い文句で消費者を煽動し、実態のない、もしくは法令に違反した形で資金を得ようとしてきます。

そうした資金は不適切な立場の人間に渡ることもあれば、実際に面会する相手がそういう立場の人間かもしれません。

「おかしいのではないか」と疑う気持ちが少し欠けるだけで、お金を、そして命をも危険に晒す可能性があることを忘れてはなりません。

「うまい話はない」とよく言われますが、これは金融経済学における無裁定の原理として知られており、この世をよく表しています。

投資について勉強するべきと感じたのはとても素晴らしいことですが、是非焦らず、きちんと勉強をして、リテラシーを高めてください。

【参考記事】
「投資しなきゃ……」焦るなキケン!

超一般化中心極限定理と株式リターン

こんにちは、毛糸です。

先日こんなつぶやきをしました。

本記事では株価リターンを題材に、確率論における中心極限定理とその一般化についてまとめます。

中心極限定理とその一般化

「独立同分布の確率変数の和は正規分布に従う」というのが中心極限定理のざっくりとした内容です。

中心極限定理は確率論における重要な定理であり、それが成立するための前提条件がもちろんあります。

ある定理を、より広い範囲に適用できるようにしたり、前提条件を緩めたりした場合にも成り立つことを示す、というのは、数学においてはよく行われます。

こうした「一般化」は中心極限定理についても存在し、一般化中心極限定理という「拡張版の中心極限定理」では、確率変数の和は正規分布ではなく、べき乗則をもつ安定分布に従うことが示されます。

正規分布に従わない株価リターン

株式リターンの実際の分布は、正規分布よりも「レアな値が出やすい」ものであり、統計的には正規分布に従いません。

【参考記事】
日本株式、米国株式、欧州株式、全世界株式の日次リターンが正規分布ではなかった件

ファイナンスの多くの理論では、リターンの正規性を仮定して結論を導いていますから、実際のリターンが正規分布ではないことについて危機感を覚える人もいるでしょう。

しかし実は正規分布でないケースにも、多くの理論は成り立ちます。

【参考記事】
株価リターンが正規分布でなくてもファイナンス理論は成り立ちます!

べき乗則と一般化中心極限定理

正規分布でなければ何なのだ、ということで注目されているのが、「べき乗則」を持つ分布です。

リターンが正規分布に従うとき、「レアな」リターンが実現する確率は、期待リターンから遠くなればなるほど急激に減っていきます。

しかし実際には、「レアな」リターンはそれほど急激に減っていくものではなく、「べき乗則」というゆったりとした減り方をしているという研究があります。

一般化中心極限定理の帰結として得られる安定分布はこのべき乗則に則った確率分布であり、実際の金融データへの当てはまりの良さが期待されています。

冒頭で述べた超一般化中心極限定理は、これを更に広範囲に拡張した定理のようです。

株価リターンに正規分布を仮定する理由

こんにちは、毛糸です。

先日こちらの記事で、日本株を始めとして株価リターンが正規分布に従っていないことを指摘しました。

【参考記事】
日本株式、米国株式、欧州株式、全世界株式の日次リターンが正規分布ではなかった件


多くの金融理論において、リターンは正規分布に従うという仮定がおかれています。

本記事では主に確率過程論の立場から、なぜこのような仮定がおかれているのかを説明します。

株価ではなくリターンをモデル化する

まず前提としてあるのは、株価は負にならない、ということです。

株価は会社財産の請求権であり、制度上追加的な支出を強制されることはない(株主にキャッシュアウトの義務はない)ので、価格は常に正になります。

したがって、株価をモデル化するにあたっては、価格が常に正値をとるような関数として定義するのが適切です。

指数関数\( y=e^x\)は実数\( x\)がどんな値をとっても正値をとるため、株価を表す関数として適切と考えられます。

時点\( t\)における株価\(S_t \)を

\begin{equation} \begin{split}
S_t=S_0 e^{Z_t}
\end{split} \end{equation}
と表すと、株価は常に正値をとり、さらに指数の肩の\( Z_t\)は株価の幾何リターン(対数リターン)を示すという「よくできた」形になります。

したがって、正値をとる株価をモデル化するときには、株価\( S_t\)そのものではなく、収益率(幾何リターン)\( Z_t\)を確率過程として考えるのが好都合なのです。

市場が効率的で、過去の情報から収益率が予測できないという立場に立つと、独立増分性をもつ確率過程がよさそうということになります。

もしリターンの分布が時点に依らないと考えるなら、時間的一様性という性質を考えるのが適切です。

このとき、リターンを表す確率過程はレヴィ過程になります。

レヴィ過程は、連続なふるまいを決めるドリフトとGauss分散行列と、ジャンプの振る舞いを決めるレヴィ測度が決まると一位に定まる、という著しい性質があります。

特に見本経路が連続であるとき、レヴィ過程はドリフト付きブラウン運動になります。

したがって、収益率が独立増分で時々刻々取引が行われジャンプがないような株価のリターンは、数学的にはブラウン運動くらいしかないのです。

連続複利ベースの収益率がブラウン運動なら、価格は当然幾何ブラウン運動ということになります。

つまり、株価とリターンにふさわしい性質を検討していった結果、候補として残るのは、リターンが正規分布に従うようなもの(=ブラウン運動)しかない、ということです。

会計と保険数理のとある類似|「サープラス」について

こんにちは、毛糸です。

最近、企業は配当をどのように決定しているのか?という疑問をよく考えます。

その疑問に答えるべく、経済学的なモデルを使って分析を行っているのですが、その中で会計と保険数理の共通点に気づきました。

会計と保険は「サープラス」というキーワードを、全く同じ概念として共有しています。

本記事では配当(dividend)をいくら支払うかという問題を、企業会計と保険数理の面から考えたときに現れる「サープラス」という共通点についてまとめます。

会計学におけるクリーンサープラス関係

企業(株式会社)の会計ルールにおいて、配当は純資産を分配する性格をもちます(実態としては現預金の支払いです)。

第\( t\)期の純資産額を\( B_t\)と表すことにすると、\( B_t\)は前期の純資産額\( B_{t-1}\)にその期の利益\( e_t\)を加え、そこからその期の配当\( d_t\)を支払ったのこりが\( B_t\)になるという関係が考えられます。

\begin{equation} \begin{split}
B_t=B_{t-1}+e_t-d_t
\end{split} \end{equation}

この関係をクリーンサープラス関係(Clean Surplus Relation)と言います。

サープラスとは「余剰」を意味し、会計学では資産から負債を引いた余剰、つまり純資産の変動が、利益と配当以外で「汚されていない(クリーンな)」状態を表しています。

日本の会計基準には、一部利益を介さず直接純資産を増減させる取引(その他有価証券評価差額金など)がありますので、クリーンサープラス関係は成り立っていませんが、会計数値と配当というキャッシュフローを結びつける関係式として重要です。

保険数理におけるサープラス過程

保険数理においては、保険会社の保険料収入から保険金の支払いを引いた残りをサープラスやリザーブと呼びます。
時点\( t\)におけるサープラス\( r_t\)は、取引開始時点のサープラス\( r_0\)に、それまでの累積保険料収入\( p(t)\)を加え、累積保険金支払い額\( U(t)\)を引いた額として決まります。
\begin{equation} \begin{split}
r_t=r_0+p(t)-U(t)
\end{split} \end{equation}

保険契約においては保険料収入のうち保険金支払いに充てられなかった超過分を配当として支払うものもあります。

この場合、サープラス\( r_t\)の一期前からの変化は、配当を\( d_t\)とすると

\begin{equation} \begin{split}
r_t=r_{t-1}+\Delta p(t)-\Delta U(t)-d_t
\end{split} \end{equation}

と表されます。\( \Delta p(t)\)と\( \Delta U(t)\)はそれぞれ、累積保険料と累積保険金支払い額の差分です。

このようにして決まるサープラスの列\( \left\{ r_t\right\}\)は、サープラス過程と呼ばれ、配当決定や倒産確率の計算に用いられます。

2つの「サープラス」の共通点

会計におけるクリーンサープラス関係

\begin{equation} \begin{split}
B_t=B_{t-1}+e_t-d_t
\end{split} \end{equation}
と、保険数理におけるサープラス過程の変動
\begin{equation} \begin{split}
r_t=r_{t-1}+\Delta p(t)-\Delta U(t)-d_t
\end{split} \end{equation}
は、その構造が極めて類似しています。

クリーンサープラス関係における利益\( e_t\)を、収益\( R_t\)と費用\( C_t\)とに分解して

\begin{equation} \begin{split}
B_t=B_{t-1}+R_t-C_t-d_t
\end{split} \end{equation}
と表現すれば、さらに対応関係がはっきりするでしょう。

「余剰の分配」という意味では、企業会計における配当も、保険契約における配当も、全く同じということがわかります。

これまでの・今後の研究

保険契約における配当をいかに決定するかという問題は比較的古くから、保険数理の問題として研究されており、クラメル・ルンドベルイモデルなどが有名です。

一方、企業会計における最適な配当に関する研究はそれほど進んでいないようです(MMの配当無関連性命題という古典的な結果はあります)。

いずれの問題も、最近は経済学の枠組みのなかで統一的に議論されており、確率制御問題の応用としての期待効用最大化問題の解として、最適配当が決定されます。

本ブログの記事「保険数理と金融工学の融合について」では、保険とファイナンスの接近についてまとめていますので、興味のある方は合わせて参照してみてください。

保険数理におけるサープラス過程と最適配当に関しては、Taskar2000 “Optimal risk and dividend distribution control models for an insurance company“に詳しく論じられています。

quantmodの使い方とCAPMの計算|Rでプログラミング

こんにちは、毛糸です。

株式の期待リターンを推定するために広く用いられているのが、CAPM(Capital Asset Pricing Model)です。

CAPMは株式のリターンを市場ポートフォリオの1次関数として表す、とてもわかり易いモデルです。

本記事ではCAPMの計算(具体的には、ベータの推定)を、統計プログラミング言語Rで行う方法についてまとめます。

CAPMにおけるベータの推定には、個別株式と市場ポートフォリオのリターンのデータが必要になりますが、quantmodというパッケージを使えば、簡単に取得できるため、その方法も説明します。

また、推定に必要な無リスク金利(安全資産利子率)には、財務省が公表している国債利回りを用いることとします。

CAPM(Capital Asset Pricing Model、資本資産価格モデル)の概略

CAPMは、資産収益が正規分布するなどのいくつかの仮定のもとで成り立つ、危険資産(株式など)の期待リターンに関するモデルです。
CAPMでは、ある証券\( i\)の期待リターン\( E[r_i]\)は、無リスク金利\( r_f\)と市場ポートフォリオの期待リターン\( E[r_M]\)を用いて、以下のように表されます。
\begin{equation} \begin{split}
E[r_i]=r_f+\beta\left( E[r_M]-r_f\right)
\end{split} \end{equation}
係数の\( \beta\)(ベータ)は、証券\( i\)と市場ポートフォリオ\( M\)の連動性を示しています。
CAPMにおける\( \beta\)は、ある証券\( i\)の超過期待リターン\( E[r_i]-r_f\)を被説明変数、市場ポートフォリオの超過期待リターン\( E[r_M]-r_f\)を説明変数とした回帰分析によって求められます。
本記事では、統計プログラミング言語Rを用いて、
  • 証券と市場ポートフォリオのデータを取得しリターンを計算する方法
  • 無理リスク金利を取得する方法
  • 回帰分析を行う方法
を解説しています。

quantmodによる株価ヒストリカルデータの取得方法

Rライブラリ「quantmod」を用いると、個別株式の価格情報を入手することができます。
quantmodは、Rコンソールで以下を実行すればインストールできます。同時に「XML」というライブラリも必要になる(ないとエラーを吐く)ので、合わせてインストールしましょう。
install.packages(“quantmod”)
install.packages(“XML”)
quantmodライブラリを読み込みます。
library(quantmod)
getSymbols()関数を使うと、指定した証券コードの価格データをwebページから取得することができます。日本の株式では、Yahoo!ファイナンスを情報ソースにすればよいです。
本記事では、証券コード9984.Tソフトバンクグループの株価を、Yahoo!ファイナンスから、開始日”2013-06-01″、終了日”2019-05-31″で取得します。
証券コードは、Yahoo!ファイナンスの各証券のページの?code=以下に記載されているものです。
https://stocks.finance.yahoo.co.jp/stocks/detail/?code=9984.T
証券コードの.Tは市場(T=東京証券取引所)を示すものですが、なくても大丈夫かもしれません。
関数の最後の引数auto.assignは取得したデータを自動でオブジェクトに代入するかどうかを決めるもので、=TRUEとした場合は自動的に「YJ9984.T」というオブジェクトに情報が格納されます。
getSymbols(“9984.t”,src=”yahooj”,from=”2013-06-01″,to=”2019-05-31″,auto.assign=TRUE)
auto.assign=FALSEとした場合には自動でオブジェクトに代入されないので、自分でオブジェクトに代入します。
data9984<-getSymbols(“9984.t”,src=”yahooj”,from=”2013-06-01″,to=”2019-05-31″,auto.assign=FALSE)
取得したデータは、日次ベースの時系列データになっており、始値・高値・安値・終値・取引高・調整後株価が格納されています。
以下の作業では終値の情報を使いますので、以下のように終値のみのデータを作ります。
Price_i<-YJ9984.T$YJ9984.T.Close
plotすることで株価の推移を見ることができます。
plot(Price_i)
\( t\)日目の日次リターン\( r_{i,t}\)は
\begin{equation} \begin{split}
r_{i,t}=\frac{P_{i,t} -P_{i,t-1}}{ P_{i,t-1}}\approx \log(P_{i,t})-\log(P_{i,t-1})
\end{split} \end{equation}

ヘッジ・ポートフォリオとオプション評価の考え方を簡単に解説する

こんにちは、毛糸です。

私がファシリテーターを務める「モンテカルロ法によるリアル・オプション分析」輪読会で、ヘッジ・ポートフォリオと無リスク金利での割引についての質問をいただきました。

本記事では、

  • ヘッジ・ポートフォリオとはなにか
  • ヘッジ・ポートフォリオの収益率と裁定取引
  • ヘッジ・ポートフォリオでオプション価格が求まるのはなぜか

について説明します。

ヘッジ・ポートフォリオとはなにか

そもそも「ポートフォリオ」というのは、いくつかの証券(株式や債券)のまとまり、もしくは組み合わせのことです。

トヨタ株とホンダ株を1枚ずつ保有するポートフォリオや、TOPIX連動投資信託1単位と個人向け国債1万円を保有するポートフォリオなど、さまざまなポートフォリオが考えられます。

証券投資において、ポートフォリオを組むと、リスクが下がることが知られています。

これを分散効果といい、投資の基本中の基本です。

【参考記事】
>>「リスクをとる」とは何か?よくある誤解と本当の意味。

オプションの価格を知りたいときには、株式とオプションのポートフォリオを考えると都合がよいことが、長年の研究により明らかになりました。

実は、株式とオプションを「上手く」組み合わせることで、そのポートフォリオの価格変動をなくすことができます。

株価の値上がり・値下がりに影響を受けず、値動きを回避(ヘッジ)するような株式とオプションのポートフォリオを、ヘッジ・ポートフォリオといいます。

ポートフォリオのペイオフ(キャッシュフロー)は当然、株式のペイオフとオプションのペイオフの和になります。

ヘッジ・ポートフォリオの収益率と裁定取引

株式とオプションを「上手く」組み合わせて、ポートフォリオの値動きが完全にヘッジできるようになったとすると(つまりヘッジポートフォリオが値動きなしになったとすると)、果たしてヘッジ・ポートフォリオのリターンはどうなるでしょうか?

値動きを完全にヘッジしたポートフォリオは、価格変動がないという意味で、無リスクです。

無リスクということは、ヘッジ・ポートフォリオの収益率は無リスク利子率に一致するはずです。

なぜヘッジ・ポートフォリオの収益率は無リスク利子率に一致するのか

もしヘッジ・ポートフォリオの(無リスクの)収益率\( r_1\)が、無リスク利子率(安全資産の利子率)\( r_f\)より高ければ、

安全資産を売って、そのお金でヘッジ・ポートフォリオを作ることで、無リスクなしに\( r_1-r_f\)を稼ぐことができてしまいます。

無リスクで(絶対に)\( r_1-r_f>0\)を稼げるなら、持っているお金をすべてこの投資戦略につぎ込むような人がたくさん現れるでしょう。

この投資戦略に従えば、例えば\( 100\)億円の資金を持ってる人は「確実に」「絶対に」\( 100(r_1-r_f)\)億円稼げるわけです。

みんながこの戦略(ヘッジポートフォリオを買って、安全資産を売る戦略)をとると、当然ながら安全資産の価格は下がります。需要より供給が多くなるからです。

価格が下がると、将来返ってくる金額は一定なので、安全資産の収益率があがります。

つまり\( r_f\)が大きくなります。

最終的にはこの投資戦略の「うまみ」がなくなるまで\( r_f\)が上がります。

つまり\( r_1=r_f\)になるような水準に落ち着きます。

したがって、ヘッジ・ポートフォリオの収益率\( r_1\)は安全資産の収益率\( r_f\)と一致します。

このような取引は裁定取引(アービトラージ)といい、裁定取引が行えるような状況を裁定機会といいます。

取引が自由に行われる市場においては、裁定機会は瞬時に消滅すると考えます。

ヘッジ・ポートフォリオでオプション価格が求まるのはなぜか

ヘッジ・ポートフォリオは無リスクなので、ヘッジ・ポートフォリオから得られる将来収益を現在の価値に割り引くときには、無リスク金利を割引率として用いるのが適当です。

ヘッジ・ポートフォリオは株式とオプションの組み合わせで収益が決まり、その金額は前もって知ることができます。

この将来の収益額を\( V\)と表すことにしましょう。

現在価値は

\begin{equation} \begin{split} \frac{ V}{ 1+r_f}
\end{split} \end{equation}
です。

さて、ヘッジ・ポートフォリオは株式とオプションの組み合わせですから、ヘッジ・ポートフォリオの現在価値は株式の価格\( S\)とオプションの価格\( C\)を「適当な」比率\( 1:\omega\)で組み合わせたあわせた\( S+\omega C\)でもあるはずです。

以上のことから、

\begin{equation} \begin{split}
\frac{ V}{ 1+r_f}=S+\omega C
\end{split} \end{equation}
という関係が成り立ちます。

そもそもヘッジ・ポートフォリオというものを考えた理由は、オプションの価格\( C\)を知りたいからでした。

上の式を変形すると、オプションの価格\( C\)は

\begin{equation} \begin{split}
C=\frac{ 1}{ \omega}\left( \frac{ V}{ 1+r_f}-S\right)
\end{split} \end{equation}

として求められることになります。

こうして、ヘッジ・ポートフォリオを考えることによって、オプションの価格が求められました。

まとめ

本記事ではオプション価格評価において重要となるヘッジ・ポートフォリオの考え方について説明しました。
金融や投資の知識と、数学の知識が必要になる難しい分野ですが、一つ一つの用語の意味をしっかり掴んで、イメージを持ちながら論理を追っていきましょう。

参考文献

保険数理と金融工学の融合について

こんにちは、毛糸です。

先日こんな論文を見つけました。
>>金融と保険の融合について(PDFリンク)

私は大学院で金融工学について研究しており、社会人になってからアクチュアリー(保険数理人)を目指そうと思ったこともあったため、とても興味深く思い読んでいます。

本記事ではこの論文で解説されている「保険数理と金融工学の融合」について、最近の研究にも触れながらコメントしたいと思います。

保険数理とはなにか

私たちは、人間の生死や事故などの予測不能なアクシデントに備えるために、保険に加入します。

保険は「万が一」に備えて多くの人がお金を出し合い、不幸に見舞われた人を保障する仕組みです。

保険に加入すると保険料を支払わねばなりませんが、この保険料はどのように決めるべきかを主な関心事として、数理的な分析を行うのが、保険数理という分野です。

保険数理を生業としている専門職はアクチュアリーと呼ばれ、極めて難易度の高い資格となっています。

金融工学とはなにか

私たち家計や企業は、自分の資産を運用したり、必要な資金を調達するなどして暮らしています。資金の貸し借りや投資は金融活動と呼ばれ、経済の潤滑油に例えられます。

お金を持っている主体が企業にお金を託す行為は証券投資として広く認知されていますが、企業がその事業に成功するかどうか、将来を完全に予測することはできません。

こうした不確実な金融に関する事柄について、いかに効率よく資金を利用できるか、どうしたらリスクを回避できるのかという課題を、数学を用いて解決する学問が、金融工学です。

金融工学のスペシャリストのことをクオンツと呼び、数学や物理学の研究者が、一時期金融界を席巻しました。

 

保険数理と金融工学の共通点

保険数理も金融工学も、将来を完全に予見することはできない、という考え方に基づいています。

どちらも、予測不能なランダムな現象と、それに伴う将来のお金の出入りに関する分析を行います。

分析のツールとなるのが、確率論(確率過程論、確率解析学)や統計学です。

つまり、保険数理も金融工学も、不確実な将来のリスクに紐付いたキャッシュフローを巡って、数学を武器として立ち向かう学問分野であるという点で共通しています。

保険数理と金融工学の相違点

保険数理も金融工学も、数学によるランダム性への挑戦という意味で同じですが、その基本思想は大きく異なっています。

保険数理は、人や企業が負担するリスクをどう測定・評価し、それをいかに制御するかという問題に比重を置いてきました。一方、金融工学は、不確実性の源である証券の価格変動は、市場取引を通じてヘッジ(回避)可能なもの考えています。

つまり、保険数理と金融工学には、リスクに対する姿勢が大きく異なっているということです。

もう少し具体的な相違点を挙げてみましょう。

保険数理におけるリスクは「大数の法則」により、その傾向を描写することが可能とされることが多いですが、金融工学におけるリスクはこの考え方が適用できない場合が多くあります。

金融工学におけるリスクの多くは「市場性」があり、市場を通じた資産の売買によりリスクをヘッジすることが可能とされますが、保険数理で考えるリスクには市場性がないのが通常です。
(証券投資は似た値動きの株を保有して変動を回避できますが、事故のリスクは誰かに肩代わりしてもらうわけにはいきません。)

このように、保険数理と金融工学には、リスクの考え方をめぐり相違点があります。

しかしながら、昨今は保険商品が流動化されることにより、保険に市場性が生まれつつあり、保険にかかわるリスクのヘッジ可能性が高まりつつある一方で、市場取引でヘッジ不能なリスクをどう価格に反映するかというプライシング理論を取り入れた金融工学発達により、両者はかなり近接してきています。

経済学による統一理論の試み

保険数理と金融工学は、徐々にその垣根が消えつつあります。

両者は、「不確実性の経済学」というより一般的な枠組みの中で、統一的に議論できるようになっています。

たとえば、保険数理における保険料計算原理は、経済学における期待効用最大化問題の解に対応していますが、全く同じ考え方によって、金融工学のリスクを反映した証券の価格が決定されます。

論文ではエッシャー原理に基づく保険料計算について述べられていますが、これは指数型の効用関数による効用最大化問題を解いていることと同じであり、保険数理で用いられてきた手法が経済学的意味を持っていることを明らかにするものです。

同時に、指数型効用の最大化問題を金融工学に適用すると、正規分布に従う資産価格を原資産とするオプションが、かの有名なブラック・ショールズ式で評価できることが知られています。

このように、経済学という枠組みの中で保険数理と金融工学を扱うことで、両者は極めて類似した概念を用いていることがよくわかります。

経済学の枠組みでは、将来キャッシュフローを「適切な割引因子」とともに計算することで、今の価値を評価できるという公式が知られています。

その式は「中心資産価格付公式」とか「資産価格の基本等式」と呼ばれており、以下のような極めてシンプルな形をしています。

\begin{equation} \begin{split}
1=E\left[ mR\right]
\end{split} \end{equation}

この式は、資産収益率\( R\)は、「適切な割引因子」\( m\)を乗じて期待値を取ることで、1に等しくなることを主張しており、この公式から多くの結論が導き出されます。

「適切な割引因子」は確率的割引ファクターやプライシング・カーネルと呼ばれ、経済学では特別な意味を持ちます。

エッシャー変換もリスク中立確率も、この公式から出発しています。

【参考記事】
>>リスク中立確率、状態証券価格、確率的割引ファクターの関係

最新の研究にも触れておきましょう。

従来、主に損害保険分野で考察されてきたであろう、災害が発生した際にキャッシュフローが生まれる金融商品(保険であり、デリバティブ)について、経済学の均衡アプローチから論じた論文がこちらです。

>>変換ベータ分布を用いた地震デリバティブの評価理論(PDFリンク)

地震の指数は取引不能・ヘッジ不能であることは明らかですが、経済学の立場からは値付けが可能であることが示されています。

まとめ

>>金融と保険の融合について(PDFリンク)
を参考にしながら、保険数理と金融工学の共通点・相違点について概観してみました。

両者はリスクを数理的に扱う学問分野として共通していますが、リスクに対する態度は大きく異なっています。

しかし、両者はより広い経済学の枠組みの中で統一されつつあります。

今後両者が連携し、社会科学の分野が更に発展していけばよいと願います。

参考文献

経済学の枠組みの中で、確率的割引ファクターやプライシング・カーネルの考え方が解説されている本では、下記がおすすめです。

ファイナンスと保険数理を両睨みで学べるテキストには、以下のようなものがあります。

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