毛糸ブログ

FXや外貨預金に投資した際の期待リターンはゼロである、ということを、以下の記事で解説しました。

FXの期待リターン、億り人になれる確率、破産する確率【モンテカルロ・シミュレーション】

この記事では、裁定取引によるフォワードパリティと、カバー付き金利パリティという条件が成り立つとき、FX等の期待リターンはゼロであることを数式で示しています。

すなわち、他国通貨と自国通貨の金利差（インカムゲイン\(i_F−i_D\)）と通貨高による増分（キャピタルゲイン\(E[s0,t]\)）について

が成り立つので、外貨投資のトータルゲイン（インカムゲインとキャピタルゲインの和）はゼロと言えます。

フォワードパリティは成り立つのか？（投資家のリスク中立性の仮定は妥当か）

外貨投資の期待リターンがゼロであるという結論は、フォワードパリティとカバー付き金利パリティが成立するときに成り立つ主張です。

したがって、どちらかいずれかが成り立たない場合には、必ずしも「期待リターンはゼロ」といえなくなります。

実は、以下のフォワードパリティの式は、投資家がリスク中立的であるときには成り立ちますが、投資家がリスク回避的であるときには成り立ちません。

ここで\(S_T\)は将来時点\(T\)におけるスポット為替レート、\(F_T\)は現時点\(0\)において結ぶ時点\(T\)のフォワード為替レートで、\(E\left[\cdot\right]\)は期待値を表します。

この期待値がくせ者で、上記式は「現実世界の確率のもとでの期待値」を表しており、上記等式が成り立つのは投資家がリスク中立的（リスクに対して追加的なリターンを求めない）のときだけです。

現実の投資家はリスク回避的であり、フォワード為替レートは将来のスポットレートの「リスク調整済み確率の下での期待値\(E^*\left[\cdot\right]\)」として決まります。フォワード為替レートは将来のスポットレートにリスクプレミアム\(\Pi\)を乗せた額として決まる、と言ってもいいでしょう。

このように、投資家がリスク回避的であることを前提とすると、もはや「FX等の期待リターンはゼロ」とは言えず、為替のリスクプレミアムだけ期待リターンを生むという結論が得られます。

【参考】リスクプレミアム考慮したときのFX等のリターン

フォワードパリティ

カバー付き金利パリティ

FX等の期待リターン（上記2式より）

通貨の期待リターンはいくらなのか

通貨の期待リターンを生むリスクプレミアム\(\pi\)はどれくらいなのでしょうか。

上記の式だけでは、リスクプレミアム\(\pi\)が正なのか負なのかもはっきりしません（仮にフォワードパリティが\(\Pi>0\)で成立するなら、FX投資の期待リターンはマイナスです。）

通貨のリスクプレミアムが存在するのかしないのか、存在するならば正なのか負なのかという問題は、いまだ解明されていないようです。

ファイナンスの教科書的な考え方では「分散投資によって避けられるリスクには、リスクプレミアムが生じない」とされます。

通貨投資も同様に、分散可能なリスクであればリスクプレミアムは発生しないはずです。

しかしながら通貨の場合にはどうしてもヘッジしきれないリスクが残るとされており、具体的には以下のような要因がリスクプレミアムを発生させるといいます。

• 世界各国の対外債権債務の大きさ
• 為替リターンの分散
• 為替レートと世界マーケット・ポートフォリオとの共分散

たとえば日本の場合は、多額の対外純資産を有しており、それらのうち多くをヘッジなしで有しているため、市場取引において分散投資をしてもなお散らせないリスクが残ります。

結果として日本の投資家が対外資産投資で追う為替リスクにはプラスのプレミアムが生じます（参考文献参照）。

このように、通貨の期待リターンは必ずしもゼロであるとは言えず、世界各国の資産市場の状況を反映したリスクプレミアムを享受できる可能性があるということです。

参考文献

この記事は以下の書籍を参考にしました。第6章グローバル投資では、為替リスクの基本的理論や、国際投資における重要な定理（カバーつき・カバーなし金利平価や国際CAPM）が解説されており、ファイナンスの基本的な事項とともに幅広い分野を学べる良書です。

福田・斉藤(1997)”フォワード・ディスカウント・パズル：展望”では、本記事で扱ったような問題を、投資家のリスク回避性をはじめいくつかの視点から整理しています。

複式簿記における試算表や仕訳はベクトルとして表現できることを、以下の記事で紹介しました。

【君の知らない複式簿記4】簿記代数の教科書『Algebraic Models For Accounting Systems』とバランスベクトル

本記事では複式簿記の「ベクトル」を、「行列」や「テンソル」へと拡張するアイデアについて述べます。

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株価が2倍になる確率と1/2になる確率は同じになるのでしょうか？

株価（リターン）がランダムウォークであると仮定して、株価が2倍になる確率と1/2になる確率を計算してみます。

結論としては、両者は一致しません。

株価リターンのモデル化、ランダムウォーク

時点\( t\)における株価を\( S_t\)と表すことにします。現在時点は\( t=0\)と約束しましょう。現在株価は\( S_0\)と表すことができます。

時点\( t\)からほんの少し将来に向けての株価の変化を\( \mathrm{d}S_t\)と表します。\( \mathrm{d}S_t\)を\( S_t\)で割った\( \frac{ \mathrm{d}S_t}{ S_t}\)は、時点\( t\)からほんの少し将来に向けての株価リターンと解釈できます。将来に向けてのリターンですから、時点\( t\)において\( \frac{ \mathrm{d}S_t}{ S_t}\)がどんな値になるかはわからず、ランダムです（\( \frac{ \mathrm{d}S_t}{ S_t}\)は時間パラメタ\( t\)に関連した確率変数です）。

株価リターンはランダムウォークである、とよく言われますが、これを数学的に表すと、

となります。ここで\( \sigma\)は株価リターンの変動性を表すパラメタ（ボラティリティといい、正の定数）、\( \mathrm{d}z_t\)は「ランダムなノイズ」を表しており（標準ブラウン運動の微小増分です）、\(z_t \)は正規分布\( N(0,t)\)に従います。

株価をこのように表したとき、瞬間的な株価リターンがプラスになるかマイナスになるかは事前に予測できず、「瞬間的には」上がるか下がるかは\( \frac{ 1}{2 }\)です。

この設定のもとでは、将来時点\( t\)における株価\( S_t\)は以下のような式で表せます。

この式を導くには「伊藤の公式」という確率解析の公式を利用します。計算方法は以下の記事を参照してください

伊藤の公式を直感的に理解する(追記：ブラック・ショールズモデル)

株価が倍になる確率、半分になる確率

さて、ここまでの準備を踏まえて「株価が２倍になる（正確には、上回る）確率」と「株価が1/2倍になる（正確には、下回る）確率」は等しいのか、計算してみましょう。

「株価が２倍になる確率」を「将来時点\( t\)における株価\( S_t\)が、現時点の株価\( S_0\)の２倍を超える（つまり\( S_t>2S_0\)となる確率」と解釈すると、以下のように計算できます。

\( z_t\)は正規分布\( N(0,t)\)に従う確率変数です。この確率変数には

という性質が成り立つことが知られています。期待値が\( 0\)の正規分布はプラスとマイナスの領域が左右対称であることから来る性質です。この性質を上の式に当てはめると

が成り立ちます。

「株価が1/2倍（を下回る）になる確率」は\( P\left(S_t<\frac{ 1}{ 2}S_0 \right)\)ですから「株価が２倍（を上回る）になる確率」とは一致しません。\(\mathrm{e}^{-\sigma t} \)が掛かっているのが余計です。

つまり、株価リターンがランダムウォークであっても、「株価が２倍（を上回る）になる確率」と「株価が1/2倍（を下回る）になる確率」は一致しません。

どちらの確率のほうが大きいのか

「株価が２倍（を上回る）になる確率」と「株価が1/2倍（を下回る）になる確率」は一致しないことはわかりましたが、どちらの確率のほうが大きいのでしょうか。

「株価が２倍（を上回る）になる確率」の途中経過を工夫すると、

という不等式が導けます。つまり「株価が２倍（を上回る）になる確率」よりも「株価が1/2倍（を下回る）になる確率」のほうが大きいです。

二つの確率が等しくなる条件

ただし、将来時点\(t \)がごく小さければ、両者は近似します。

\( t\)が十分小さい時、

が成り立ちます。

つまり、ごく短期間の話をするならば「株価が２倍（を上回る）になる確率」と「株価が1/2倍（を下回る）になる確率」は近似し、\( t\to0\)の極限で両者は一致します。

注意

この記事では「瞬間的な株価リターンが標準ブラウン運動の微小増分の意味でランダムウォークである」という前提のもとで、「株価が２倍（を上回る）になる確率」と「株価が1/2倍（を下回る）になる確率」は一致しない（後者のほうが大きい）ことを示しました。

当然ながら、前提が変われば結論は変わります。

例えば「将来のある時点までの株価リターンがランダムウォークである」という仮定をおけば、結論は変わります（それが学術的に広く受け入れられているかは別として）。

投資理論において「唯一絶対の正解はない」ことに注意してください。

参考文献

暗号は秘密を守るための重要な技術です。

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国際的な会計・コンサルティングファームであるDeloiiteも、ブロックチェーンが会計業界に与える影響について注目しているようです。

本記事ではDeloitteの報告資料「Blockchain Technology A game-changer in accounting?」（PDFリンク）を読み解いていきます。

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本記事では、写像の種類「単射・全射・全単射」について、それらの定義の違いを整理し、例を用いて理解します。

単射と全射は、イメージできるようになるまで何度も定義を見直すことで、徐々に自分の中で消化されていきます。

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こんにちは、毛糸です。

本記事では、代数学において考察対象となる代数的構造について整理します。

群や環といった基本的な代数的構造が、それぞれどういう包含関係になっているのかを、図を用いてまとめます。

群・環・体、代数的構造の包含関係

群や環などの代数的構造は、包含関係をイメージしながら整理しておくと便利です。

たとえば

群の演算（加法）が可換であって、乗法についても閉じており、乗法の結合法則と加法乗法の分配法則が成り立つものが、環である。

というふうに、条件の緩い代数的構造（群）から始めて、条件を追加していくことでより複雑な構造（環）を得ることが出来ます。

この代数的構造の包含関係を図示したものが以下です。

この図は、こちらのページ「群・環・体 (大人になってからの再学習 )」に掲載されている同様の図を参考にして、群よりも単純な代数的構造を明示し、表現を修正したものです。

なお、上の図では条件が追加されるごとに領域が大きくなっていますが、これは「集合の大きさ」を表してはいません。

条件が厳しくなれば、集合としては「狭まっていく」ので、イメージとしては以下のような感じです。

諸注意

代数的構造の包含関係図はあくまでイメージであり、正確でない表現を多分に含んでいます。

そもそも代数的構造は、ある集合と、その上の二項演算をセットで考えるものですが、上の包含関係図ではその「ある集合」とその元についての説明は省かれています。

つまり、上の包含関係図におけるマグマの説明

\(a \)と\(b \)が含まれるなら\( a+b\)も含まれる

は、

集合\( M\)の任意の元\( a\)と\( b\)について、二項演算\(+ \)が定義されていて、\( a+b\)が\( M\)の元であるとき、\( \left( M,+\right)\)をマグマと呼ぶ。

と述べるのが正確です（しかし前者の説明でも雰囲気はわかるでしょう、そのための図解です）。

また、たとえばマグマの条件を「加法について閉じている」と表現しており、二項演算を「\( +\)」で表していますが、一般にはマグマは二項演算について閉じていればよく、加法である必要はないですし（むしろ乗法と呼ぶほうが多いのかも）、二項演算を「\( +\)」で表す必然性もありません。

ただ、条件列挙の順序の観点から、群・環・体の包含関係のイメージを持つための「方便」として、あえて加法と言い「\( +\)」の記号を使っています。

その他の説明も、似たような理由から正確でない部分を含んでいますが、この図の趣旨は基本的な代数的構造の関係を直感的に捉えることですので、ご容赦ください。

正確な定義はテキストに載っていますから、そちらを参照していただくことにして、包含関係図はあくまで「直感的理解」のための使うのが良いでしょう。

代数学を理解するためのテキスト・参考書

群や環といった基本的な代数的構造を理解するためのテキストとしては、以下が入門的です。

解析学（微積分）が好きだけど、群や体の定義くらいは知っておきたい、という方は、解析学の名著「解析入門Ⅰ」の最初に、実数体を定義する際に基本的な概念が登場します。

代数学の基本的なところから始めて、最近注目を浴びている圏論も勉強したいという方は、こちらの本がまとまっています。