会計は貨幣金額を用いて行われます。
製品製造用の木材1トンも、建物1棟も、社内システムのアカウント10名分もすべて、何らかの方法で貨幣金額（日本では円）を付し、仕訳に登場し財務諸表に反映されます。
これは会計における重要な決まり事として、貨幣評価の公準とよばれます。
貨幣評価の公準は、会計の公理にも含められることがあります。
もしこの公理が緩められるとすると、どんなことが起こるでしょうか。
貨幣金額という会計の「あたりまえ」を取り除くのはイメージしづらいかもしれません。しかしもしこれが可能だとすれば、会計や簿記は貨幣の介在しない、より広い世界の現象を記述するのに役立つかもしれません。
たとえば、物理現象や情報科学など、貨幣以外にも「交換」や「因果」や「等価性」を伴う概念はたくさんあります。
こういう概念にまで簿記・会計の概念を広げようと思ったとき、たとえば簿記・会計の公理があれば、それを共通理解として議論を深めることができます。
このブログでは複式簿記の数学的な表現についていくつか記事を書いています。
【参考記事】【君の知らない複式簿記】目次まとめ
複式簿記における仕訳や試算表は、ベクトルとして表現できます。このとき、勘定科目は「座標系」と解釈することが可能です。
現金100円、売掛金120円、…、借入金50円、資本金100円、というふうに、各勘定科目について金額を１つずつ指定するとある時点の試算表（会計の状態）が得られますよね。
その意味では「縦横高さを指定すると位置が定まる」という物理的な空間と、設定はさほど変わらないのです。— 毛糸@博士課程 (@keito_oz) December 19, 2020
6世紀に渡り会計の基本言語であり続けている複式簿記。
そんな複式簿記が、最新のテクノロジーであるブロックチェーンによって進化しようとしています。
ブロックチェーン的三式簿記と呼ばれる新たな簿記です。
この記事ではブロックチェーン的三式簿記について2つの解釈が存在することを解説します。
この記事ではセミオートマトンとオートマトンの定義について解説します。
荒っぽく言えば、セミオートマトンとは入力によって変化する機構、オートマトンとは入力によって変化し、同時に出力も行う機構です。
本記事ではさらに、オートマトンと会計システムの関係についても触れます。
会計と一口に言っても、その目的はさまざまです。
なかでも、企業の活動を外部に報告する目的で行われる財務会計、社内の意思決定に利用する目的で行われる管理会計の2つは特に有名でしょう。
ある企業が財務・管理の2つの目的でデータを揃える「財管一致」いう考え方があります。
本記事では財管一致とはどういう考え方なのか、参考文献を提示しながら解説します。
本記事では、順序群・順序環・順序体の定義をまとめています。
これらは群・環・体という代数構造に順序の概念を入れたものであり、これにより演算と整合的な「元の正負」を扱えるようになります。
元の正負は、複式簿記における借方と貸方の概念に繋がります。
簿記・会計の公理は、議論の前提を共有し、議論の範囲を明確化するメリットがあります。
【参考記事】簿記会計の公理を考えると何が嬉しいのか？
本記事では、簿記・会計の公理が用いられた論考を紹介し、公理による議論がどんな結論を導いているのかを紹介します。
こんにちは、毛糸です。私は上場企業の決算を支援する仕事をしています。
決算や経理というと、最近は「AIで仕事を奪われるのではないか」という声がよく聞かれます。
本記事ではその不安について深掘りしていきたいと思います。
このブログでは複式簿記と会計の公理についてたびたび取り上げています。
1960年頃から続く公理に関する研究や、最近提示された新しい公理をもとに、私が考案した公理も紹介しました。
本記事では、そもそもなぜ、簿記や会計の公理を考えるのか、公理を示すことでどんないいことがあるのか、考察します。
まず初めに、公理とはなにか復習しておきましょう。
公理とは、ある数学概念を定義する際に用いる、要請や主張のことです。
「こういう性質を満たすものを、ほにゃららと定義します」といったときの「こういう性質を満たす」という主張が公理です。
公理は、数学的な議論の出発点となる共通の了解事項ともいえます。公理には「それはなぜか」という問いかけの無限遡及を防ぐ効果もあります。
概念の定義に関する要請ですから、それが正しいかどうか、証明する必要はありません。
【参考記事】公理とはなにか。証明不要の命題がもつ「論理の力」について
簿記・会計の公理とは、簿記・会計の定義をする際に用いる要請・主張のことをいいます。
簿記・会計の公理を示すということは、簿記・会計の定義として満たすべき性質に合意をとるということであり、逆に、公理を満たすものならなんでも簿記・会計として認めてしまおうということを意味します。
例えば、我が国が誇る会計研究者の井尻先生は1968年の著書の中で、会計の公理として①支配の公理、②交換の公理、③数量の公理を提示しました（もっとも、これら公理からなにか命題を導くことはしなかったようですが…）
簿記・会計は社会で広く用いられる概念であり、既にその重要性は十分認識されています。
そんな中、簿記・会計の公理を考えることに、一体どんな意義があるのでしょうか。
簿記・会計の公理を定めることで、簿記・会計の定義が決まります。
公理は議論の出発点です。簿記・会計の公理に同意するならば、簿記・会計に関するすべての議論は、その公理を出発点にできます。
公理を満たしているか確認するだけでよいので、「簿記・会計とはそもそも何なのか」「何であるべきなのか」という哲学的な問いかけに真っ向から挑むことなく、簿記・会計に関する有用な議論を進めることができます。これは重要なメリットです。
もちろん、簿記・会計の公理に同意するか否か、という議論は必要です。公理やそこから演繹される命題が、既にある簿記・会計の性質に反するのであれば、そのような公理には同意できないでしょう。
例えば、貸方借方に対応する概念がないとか、仕訳の足し算が仕訳の形をしていないとか、そういう状況を生むのであれば、そんな公理には同意できません。
しかしひとたび簿記・会計の公理に同意したならば、すべての議論はその公理を前提として進みます。
ちょうど「確率とは何なのか」という哲学的な問いかけに対して、コルモゴロフの公理がその問いかけを回避する道筋を示したように、簿記・会計の公理も「それ以上は追及不要」な議論の出発点を提供します。
公理から導かれる性質は、公理を満たすどんなものに対しても成り立つ普遍的なものです。簿記・会計の公理を与え、その公理から何がいえるかを調べることで、簿記・会計に一般に成り立つ性質を特定できます。
簿記・会計の公理から演繹される命題はすべて、簿記・会計の性質です。
考察の対象が行列簿記でも矢印簿記でも、簿記の公理さえ満たしていれば、公理から導かれる命題はすべて成り立ちます。考察の対象が財務会計でも管理会計でも、会計の公理さえ満たしていれば、公理から導かれる命題はすべて成り立ちます。
もちろん、現実にある簿記・会計の諸問題がすべて、公理から演繹される命題として述べられるわけではないはずです。
例えばRenesの公理や私の公理では、「取得原価主義と時価主義のどちらが優れているか」という問いに対して、答えを用意できません。なぜなら、それらの公理は簿記・会計の抽象的な構造を規定するものであって、具体的な会計のあり方という現実問題を射程にしたものではないからです。
公理からは演繹できない問題は、簿記・会計の抽象的な構造の問題ではないといえます。これは確率の公理において、確率測度を具体的にどう定義するかという問題に踏み込まないのと似ています。それはあくまで現実の出来事をどうモデル化するかという問題です。
議論の出発点として簿記・会計の公理を示すことで、そこから演繹される命題は簿記・会計の構造から導かれる命題であると断言できます。逆に、簿記・会計の公理に定められていない主張を議論に付け加える必要があるならば、それは（当初合意した）簿記・会計の定義を拡張しているということになります。
導きたい命題のために定義や命題を付加することは自由です。群の定義に交換法則を追加しアーベル群を定義することで、より豊かな数学を展開できるのと同じです。
大切なのは、どこまでを共通の了解事項として合意したのか、それを明確に示すことです。
簿記・会計の公理が与えられたとき、その公理を満たすものは、たとえどんなに「会計っぽくない」ものであっても、簿記・会計であると定義することになります。
公理という「簿記・会計が否かの判断規準」を示すことによって、一見して異なる対象に同じ構造を見出すことができます。簿記・会計を抽象化しているとも言えます。
概念の抽象化は公理の重要な利点の一つです。
ここで位相空間にちなんだ例を示します。３つの元しか持たない集合上で連続写像を定義できるという例に、概念が抽象化されるとはどういうことかを感じ取ってほしいと思います。
私たちは連続写像という言葉について、隙間なく埋まった空間と、その上の切れ目ないグラフをイメージするでしょう。逆に、飛び飛びの値を取る有限集合上では、連続写像が定義できるとは信じられません。
しかし、開集合の公理によって、有限集合に開集合を定めることで、有限集合の上の連続写像を定義することができます。
トランプの絵札（ジャック\(J\)、クイーン\(Q\)、キング\(K\)）の集合\(S=\left\{J,Q,K\right\}\)に対して、開集合全体の集合\(\mathbb{O}\)を
そこで写像\(f:S\to S\)を
この例を通して伝えたいことは、公理を定めることによって概念が抽象化され、世界が広がっているということです。
有限集合上で連続写像を考えるというのはイメージしづらいことですが、公理を満たすような開集合を考えることができれば、たとえイメージと異なっていても、連続写像を定義できるのです。「開集合」「連続写像」の具体的イメージから離れ、概念を抽象化しています。
このように、概念を抽象化することで、一般性の高い性質を導くことが可能になります。
そして、簿記・会計を抽象化することで、以下のようなメリットが生まれます。
簿記や会計というのは、実務的・具体的な姿を伴っています。会計システムは各社で様々なものを利用していますし、会計にも多くの基準や指針が存在します。
それらの具体的なオブジェクトを、具体的なレベルで解決するのが、会計実務家の仕事です。
しかし、会計実務における課題の中には一般的なものも存在します。「どの会社もおんなじような課題持ってるんですよね」という話がよく聞かれるように、具体的な現象は異なっていても「根っこは同じ」な問題は数多くあります。
このような場合、具体的な簿記・会計を離れ、抽象的なレベルに議論のフィールドを移すことで、具体的な課題を解決する緒になります。
これと同様に、簿記・会計の公理を与えることによって、私たちが今まで簿記・会計とは考えてこなかった対象が、実は簿記・会計と同じ構造を持っていることに気づくかもしれないのです。
それが簿記・会計を抽象化するということであり、未知の簿記・会計を見つけるということです。
この記事では簿記・会計の公理を考える意義について述べました。それは、
ということでした。
これらは簿記・会計の構造を論じる際に重要な役割を果たすと私は考えます。
簿記・会計の公理の重要性はまだ十分に認識されていないようなので、継続的に発信していこうと思います。
そもそも数学における公理とは何なのか、定義とはどう違うのか、ということについては、以下の記事で詳しく述べています。
公理とはなにか。証明不要の命題がもつ「論理の力」について
簿記・会計の公理に関する研究があまり活発でない理由については、以下の記事で考察しています。
会計の公理的理論が普及していない理由を考える
記事の中で述べた井尻の３公理は、以下の書籍で詳しく論じられています。
トランプの絵札の集合で位相を考える、というお話は、以下の書籍に載っています。公理による概念の抽象化がどんな可能性を秘めているのか、ストーリーで明らかになるでしょう。
この記事では複式簿記において成り立つ4つの会計等式について解説します。
シェアーが提示した試算表等式を数学的な等式として提示し、そこから資本等式・損益等式・貸借対照表等式がどう導かれるかを解説します。
本記事の内容は以下の書籍 上野(2019) を参考にしています。
まず本記事で用いる用語の定義を行います。
19世紀の会計学者シェアーは、複式簿記の勘定科目は大きく分けて2種類あると考えました。ひとつは「財産」勘定、もうひとつは「資本」勘定です。
「財産」勘定は積極財産と消極財産からなります。積極財産とは資産のこと、消極財産とは負債のことです。財産とは積極財産（正の財産）から消極財産（負の財産）を控除したものであり、純財産とよんだほうがピンとくるかもしれません。
「資本」勘定は純財産としての元手（もとで）とその増減から構成されます。純財産の増減とは損益のことであり、損益を除く株主資本全体が狭義の資本です（現代ではこれ以外の純資産項目もありますが、本記事ではそれも狭義の資本に含めます）。
以上を踏まえると、複式簿記における「財産」「資本」の内訳は、以下の5つの要素から構成されているといえます。
以下ではこれらを用いて、複式簿記において成り立つ4つの等式をみていきます。
試算表等式は、他の3つの試算表を導くための基本となる等式であり、借方科目の合計は貸方科目の合計に等しいという主張です。
\( A,P,K,V,G\)に関する以下の等式を試算表等式といいます。
この等式はシェアーが「貸借対照表等式」と呼んだものですが、現代の言い方では試算表等式として理解されています。
この等式は残高試算表の借方合計と貸方合計が一致するという性質を数式で表現したものです。つまり、以下のような試算表において成り立つ貸借対照の原理を数式で表したものと言えます。
簿記代数の基礎概念であるバランスベクトルは、試算表等式を含む概念です。バランスベクトルから試算表等式を作ることが出来ます。
この記事では\( K\)を、資本全体のうち増減分\( V,G\)を除く部分と定義しましたが、仮に\( K\)に増減分を含めるなら、資本増減に関しても純増減に対応する項目（つまり当期純損益）を含める必要があります。
資産（積極財産）と負債（消極財産）の差額は、資本に等しいという等式を、資本等式といいます。
資本等式は、左辺に「財産」勘定が、右辺に「資本」勘定がまとまっており、「財産=資本」という関係式を表しています。左辺は資産（積極財産）と負債（消極財産）の差額（純財産）であり、右辺は当期に増減した部分を含む資本を意味します。
資本等式は、数学的には試算表等式\( A+V=P+K+G\)において費用\(V \)と負債\( P\)を移項したものです。
純財産から資本を差し引いたものは資本の増減に等しい、という等式を、損益等式といいます。
左辺をBS科目の合計、右辺をPL科目の合計と解釈することも出来ます。
ある会計期間の期首（添字\( \mathrm{ini}\)で表す）においてはPL科目の金額は0なので、損益等式は\( A_{\mathrm{ini}}-P_{\mathrm{ini}}-K_{\mathrm{ini}}=0\)と表せます。期末（添字\( \mathrm{end}\)で表す）には\( A_{\mathrm{end}}-P_{\mathrm{end}}-K_{\mathrm{end}}=G-V\)という損益等式が成り立ちます。
期首と期末の差分を\( \Delta\)という記号を用いて書くと、上記2つの損益等式の差から
資本増減\( G-V\)を資本\( K\)に繰り入れた\( K+G-V\)を、新たに資本\( K^*\)と定義し直します。このとき、資産（積極財産）\( A\)は負債（消極財産）\( P\)と純資産（資本）\( K^*\)の和に等しくなります。これを貸借対照表等式といいます。
この等式は貸借対照表において「資産=負債+純資産」という等式が成り立つことをいっています。
\( K\)に資本増減分を含めている場合には、「資本増減\( G-V\)を資本\( K\)に繰り入れた\( K+G-V\)を、新たに資本\( K^*\)と定義し直す」という条件なしで、貸借対照表等式\( A=P+K\)が成り立ちます。
本記事では、複式簿記において成り立つ4つの基本的な会計等式、すなわち
について説明しました。いずれも複式簿記において成り立つ重要な性質であり、各等式から発展的な命題を得ることもできます。
試算表等式は会計等式の出発点としてシェアーが提示したそうです。複式簿記の基礎固めとして偉大な貢献だと感じます。
本記事は以下の書籍の第1章「シェアーの物的二勘定学説」を参考にしました。
こちらの書籍は、600余年の歴史をもつ複式簿記の理論学説の中から、歴史的に特に重要なものを解説しています。いわゆる学術書ですが、興味がある方はきっと楽しめるでしょう。
本記事と関連する記事として、以下もぜひご覧ください。
【君の知らない複式簿記4】簿記代数の教科書『Algebraic Models For Accounting Systems』とバランスベクトル
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