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数学


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関手(functor) 【簿記数学の基礎知識】

圏論の重要概念である「関手」は、圏と圏の構造を保つような対応関係です。

本記事では関手の定義とそのイメージについて述べます。

また、会計において関手がどこに現れるのかについても触れます。

関手の定義

\( \mathscr{ A }, \mathscr{ B }\)を圏とします。

【参考記事】圏(けん、category)【簿記数学の基礎知識】

\( F:\mathscr{ A }\to \mathscr{ B }\)が関手であるとは、

  • 対象の間に\( \mathrm{ ob}\left( \mathscr{ A }\right)\to\mathrm{ ob}\left( \mathscr{ B }\right)\)という対応関係が存在(\( A\mapsto F(A)\)という対応)
  • 射の間に\( \mathscr{ A }(A,A’)\to \mathscr{ B }\left(F(A),F(A’) \right)\)という対応関係が存在(\( f\mapsto F(f)\)という対応)
  • \( \mathscr{ A }\)の射\( f,f’\)に対して\( F(f\circ f’)=F(f)\circ F(f’)\)が成立
  • \( F(1_A)=1_{F(A)}\)

を満たすことをいいます。

関手のイメージ

圏というのは対象と射がなすシステムです。関手は圏の間の構造を保つような対応関係のようなものです。

『圏論の道案内』では関手のイメージとして、以下のような説明をしています。

日常生活で他人にものごとを説明する際、我々はよく言い換えや喩えといったことを行うが、これを数学的に捉えたものが関手なんだ。

もう少し具体的に述べてみましょう。

圏\( \mathscr{ A }\)に対象\( X\)から\( Y\)への射\( X\overset{f}{\rightarrow} Y\)があるとします。これを「\( X\)と\( Y\)の関係」と解釈してみましょう。

\( F:\mathscr{ A }\to \mathscr{ B }\)が関手であるとき、圏\( \mathscr{ B }\)において\(F( X)\overset{F(f)}{\rightarrow} (Y)\)という関係が成り立ちます。これは圏\( \mathscr{ A }\)における関係を圏\( \mathscr{ B }\)の置き換えていると解釈できます。いわば、圏\( \mathscr{ A }\)における関係を圏\( \mathscr{ B }\)で言い換えている、もしくは喩えているようなものです。

複式簿記への応用

会計は企業のビジネスの実態を会計情報に「写す」プロセスです。つまり、会計は写像です。

実は、企業の経営と会計情報をそれぞれ圏と捉えると、会計は関手になります。詳細は以下をご覧ください。

【参考記事】【君の知らない複式簿記8】会計は写像であり、関手である。

参考文献

圏論の基本的な内容や関手のイメージについては、こちらの書籍がおすすめです。対談形式で楽しく読めて、圏論の「こころ」が理解できます。

関手を含む圏論の基礎的な内容について、以下のテキストが参考になります。

このブログで不定期連載中の【君の知らない複式簿記】では、簿記の代数構造に関する研究結果を紹介しています。

【君の知らない複式簿記】シリーズはこちらからどうぞ

 

【君の知らない複式簿記8】会計は写像であり、関手である。

会計は写像である、というのは有名なフレーズです。しかし会計という写像の定義域と値域、その写像自体の性質を数学的に定式化する研究はあまり知られていません。

以下の記事では、会計を経済の状態の集合から複式簿記に基づく会計情報の集合への写像であると定義しました。

【参考記事】複式簿記会計の公理:ひとつの提案として

本記事ではそのように定義された会計写像を基礎として、経済の状態の圏と会計情報の圏を定義することで、会計が関手になることを示します。

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モノイドの定義と圏論的考え方【簿記数学の基礎知識】

この記事では基本的な代数構造の1つであるモノイドの定義を述べます。

また、圏論において「一つの対象からなる圏は本質的にモノイドと同じである」という主張について解説します。

モノイドは複式簿記会計の対象となる経済的状態のモデルとして使えます。

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会計と圏論における「忠実」:概念フレームワークと関手の定義に触れながら

会計とは、企業等の経済主体が行う経済活動を一定のルールに基づき情報として伝達するプロセスをいいます。

圏論とは、一定の関係性を持つ対象たちの集まりを考察する数学の一分野です。

会計にも圏論にも「忠実」という言葉が登場します。

この記事では会計と圏論がどういった意味で「忠実」という言葉を使っているのか、そこに関連性はあるのかについて考えます。

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数理モデルとは抽象化である

『具体と抽象』という本は、さまざまな視点から抽象思考のメリットを紹介し、ものごとを抽象的に考える方法論を解説しています。

この記事ではそんな抽象思考の一例として、数理モデルによる分析を取り上げます。


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『具体と抽象―世界が変わって見える知性のしくみ』を読む

何についての書籍か:抽象化の方法論と、具体人間との意思疎通

細谷功『具体と抽象』は、ものごとを抽象に考えることの重要性を説いた書籍です。

私たちは「具体的なものはわかりやすい」「抽象的なものはわかりにくい」と印象を抱きがちです。

しかしものごとを抽象的にとらえると、一般的な性質に着目できるため、私たちの理解を助ける場合があります。

本書はものごとを抽象的に考え、思考力・発想力・理解力を向上させたいという読者に向けた本です。

また、具体的なレベルでしかものごとを捉えられない人とのコミュニケーションの齟齬に悩む人も、想定読者に上げられています。

なぜ手に取ったのか:抽象化による課題解決を目指すため

具体と抽象の行き来は、課題解決に役立つと考えています。

ユニクロの柳井社長は、具体と抽象の行き来が上手かったそうです。

「赤のフリース売れません!」という販売部門からの報告会の出来事です。

会議の参加者は「白は売れ行きは?」「トレンドカラーは茶だよ」という、色に着目した議論を進めようとしたそうです。

そんな中柳井社長は「フリース全体は?そもそも衣類支出の動向は?」と、より広い視野での質問を投げかけ、この問題を抽象化して考えようとしました。

このように、具体的な課題をさらに高い次元で考察することに、柳井社長は長けていたのだそうです。

ここに抽象化(もしくはカテゴリーの上位化)を伴っています。

このような抽象化による課題解決のアプローチを学ぶため、この本が役に立つと考えました。

何を学んだか

具体的には異なるものを、まとめて同じものとして扱う。これが抽象化の例です。

ものごとを抽象的に捉えると、異なるものを統一して見ることができるようになり、思考の幅が広がります。

また、共通する性質に対して考察することで、広く応用しやすい結論を得られます。

これは数学を学ぶことにも似ています。

数学は数や論理を使って議論を繰り広げます。しかし、具体的に何を扱っているかは問題とせず、例えばりんごひとつもみかんひとつも「1」という数で表しますし、コーヒーカップもドーナツも穴が1つという意味で「同じ」とみなしたりします(これはトポロジーという数学の考え方です)。

具体的なものではなく、抽象的なレベルで議論を展開しておくことで、あらゆる場面に応用できる一般性のある結論が得られます。

これが抽象化のメリットです。

何に応用できそうか、関連するものはなにか:会計における勘定科目

抽象と具体は「1:N」の関係で表現できると『具体と抽象』には書いてあります。

これは会計システムにおいて、勘定科目が階層構造を作っていることと似ています。

流動資産という抽象的な1つの勘定科目に対して、現金・預金・売掛金といった具体的な複数の勘定科目が対応しています。

また、流動資産・固定資産といった勘定科目は、さらにまとまりをつくり、資産というより抽象的な勘定科目を作ります。

このように、勘定科目の階層構造は、本書に書かれた具体と抽象のパターンそのものといえます。

参考文献:『勘定科目統一の実務

まとめ

細谷功『具体と抽象』は、ものごとを抽象的に考えることの重要性を学べる本です。

抽象的に考えることで、理解を助け、発想を豊かにし、一般的な性質を見極められます。

より広い視野でものごとを考えたいという方に、おすすめしたい一冊です。

簿記代数に可逆性は必要なのか

複式簿記を代数的に表現するという研究があります。私はそれを簿記代数と呼んでいます。

簿記代数では、仕訳や試算表といった「複式簿記のオブジェクト」の集合に「仕訳の追加」「試算表の合算」といった加法を定義し、群や環上の加群を導入します。

【参考記事】【君の知らない複式簿記3】複式簿記の代数的構造「群」

複式簿記の構造を群として考えるということは、複式簿記のオブジェクトにはどれも逆元が存在するということです。

この逆元というのは、ある仕訳の逆仕訳が想定されます。この逆仕訳というのは、ある仕訳の取り消し処理のことです。

どんな仕訳にも逆仕訳が存在するということは、どの仕訳も取り消せるということです。その取り消しは実務的な要請(誤謬の訂正)という意味合いが大きいように思えます。

しかし、もし「理想的な」会計実務が想定でき、仕訳の誤りがなくなったら、どうでしょうか。それはつまり、仕訳の取り消し処理が不要ということです。そのような場合、もはや複式簿記の代数的構造において必ずしも逆元の存在を認める必要はありません。

したがって、群よりもさらに原始的な構造であるモノイドを複式簿記の構造として考えることができます。

【参考記事】代数的構造の関係を図示してみた(マグマ、半群、モノイド、群、アーベル群、環、可換環、整域、体)

 

「貨幣評価の公準」を緩めた簿記会計の可能性

会計は貨幣金額を用いて行われます。

製品製造用の木材1トンも、建物1棟も、社内システムのアカウント10名分もすべて、何らかの方法で貨幣金額(日本では円)を付し、仕訳に登場し財務諸表に反映されます。

これは会計における重要な決まり事として、貨幣評価の公準とよばれます。

貨幣評価の公準は、会計の公理にも含められることがあります。

参考:複式簿記会計の公理:Renes(2020)の紹介

もしこの公理が緩められるとすると、どんなことが起こるでしょうか。

貨幣金額という会計の「あたりまえ」を取り除くのはイメージしづらいかもしれません。しかしもしこれが可能だとすれば、会計や簿記は貨幣の介在しない、より広い世界の現象を記述するのに役立つかもしれません。

たとえば、物理現象や情報科学など、貨幣以外にも「交換」や「因果」や「等価性」を伴う概念はたくさんあります。

こういう概念にまで簿記・会計の概念を広げようと思ったとき、たとえば簿記・会計の公理があれば、それを共通理解として議論を深めることができます。

参考:簿記会計の公理を考えると何が嬉しいのか?

【君の知らない複式簿記 補遺】複式簿記の座標

このブログでは複式簿記の数学的な表現についていくつか記事を書いています。

【参考記事】【君の知らない複式簿記】目次まとめ

複式簿記における仕訳や試算表は、ベクトルとして表現できます。このとき、勘定科目は「座標系」と解釈することが可能です。

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