株価リターンに正規分布を仮定する理由

こんにちは、毛糸です。

先日こちらの記事で、日本株を始めとして株価リターンが正規分布に従っていないことを指摘しました。

【参考記事】
日本株式、米国株式、欧州株式、全世界株式の日次リターンが正規分布ではなかった件


多くの金融理論において、リターンは正規分布に従うという仮定がおかれています。

本記事では主に確率過程論の立場から、なぜこのような仮定がおかれているのかを説明します。

株価ではなくリターンをモデル化する

まず前提としてあるのは、株価は負にならない、ということです。

株価は会社財産の請求権であり、制度上追加的な支出を強制されることはない（株主にキャッシュアウトの義務はない）ので、価格は常に正になります。

したがって、株価をモデル化するにあたっては、価格が常に正値をとるような関数として定義するのが適切です。

指数関数\( y=e^x\)は実数\( x\)がどんな値をとっても正値をとるため、株価を表す関数として適切と考えられます。

時点\( t\)における株価\(S_t \)を

\begin{equation} \begin{split}
S_t=S_0 e^{Z_t}
\end{split} \end{equation}
と表すと、株価は常に正値をとり、さらに指数の肩の\( Z_t\)は株価の幾何リターン（対数リターン）を示すという「よくできた」形になります。

したがって、正値をとる株価をモデル化するときには、株価\( S_t\)そのものではなく、収益率（幾何リターン）\( Z_t\)を確率過程として考えるのが好都合なのです。

市場が効率的で、過去の情報から収益率が予測できないという立場に立つと、独立増分性をもつ確率過程がよさそうということになります。

もしリターンの分布が時点に依らないと考えるなら、時間的一様性という性質を考えるのが適切です。

このとき、リターンを表す確率過程はレヴィ過程になります。

レヴィ過程は、連続なふるまいを決めるドリフトとGauss分散行列と、ジャンプの振る舞いを決めるレヴィ測度が決まると一位に定まる、という著しい性質があります。

特に見本経路が連続であるとき、レヴィ過程はドリフト付きブラウン運動になります。

したがって、収益率が独立増分で時々刻々取引が行われジャンプがないような株価のリターンは、数学的にはブラウン運動くらいしかないのです。

連続複利ベースの収益率がブラウン運動なら、価格は当然幾何ブラウン運動ということになります。

つまり、株価とリターンにふさわしい性質を検討していった結果、候補として残るのは、リターンが正規分布に従うようなもの（＝ブラウン運動）しかない、ということです。

会計学と情報理論の融合、そして「会計学の基本定理」

「会計学の基本定理」という定理をご存じでしょうか。

「基本定理」とは数学のある分野で、極めて重要な意味を持つ中心的な命題につけられる名称です。代数学の基本定理や微積分学の基本定理などが有名です。

しかし、会計学にもそうした定理があることを知っている方は少ないでしょう。

今回はそんな「会計学の基本定理」について簡単にまとめます。

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AIに仕事を奪われた私たちに何が出来るのか

「AIやロボットによって、人間は単純作業から開放され、付加価値の高い業務に集中できる」

そんな声を聞きます。

本当にAIは私たちの仕事を楽にしてくれるのでしょうか？

本記事は「AIで私たちは単純作業から開放されるのか」という主張に対する私見を述べつつ、高付加価値業務にシフトすることの難しさに触れながら、来るべきAI時代を前に私達は何をすべきかを考察します。

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【投信定点観測】19週目｜インデックス、ロボアドバイザー、アクティブファンドに積立投資

こんにちは、毛糸です。

【投信定点観測】2019年7月第3週（スタートから19週目）の損益の報告です。

今週末における損益率は1.77%（年率3.30％）です。

損益状況

商品ごとの含み損益率は以下のようになりました。【投信定点観測】開始から18週間経過時の含み損益率は1.77%（年率換算で3.30％）で、先週から0.54%のマイナスです。

インデックス投資信託の変動

米国の利下げが小幅なものにとどまるとの観測から、G-REITは週間で1.39%のダウン、一方のJ-REITは0.96%のアップとなり、J-REITの累積リターンは8.90%となっています。

ロボアドバイザーの振り返り

ロボアドバイザーのWealthNavi（ウェルスナビ）は今週-0.81%(含み損益1.44%)、THEO（テオ）は今週-0.99%(含み損益0.28%)でした。

今週の含み損益ランキングは、【投信定点観測】の全14の投資先のうち、WealthNaviは第8位、THEOは第11位です。

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アクティブファンドの変動

日本株式に投資するアクティブファンド、ひふみ投信は、インデックスであるTOPIXに対して優位なパフォーマンスを上げています。

まとめ

【投信定点観測】を始めて19週、累積リターンを見るとJ-REITの+8.90%から、日本株式（TOPIX)の-1.65%まで、資産クラスによって明暗が別れています。

投資を行おうと考えるとき、多くの方は自国株式（つまり日本株）を対象にしますが、現状、日本株は数あるインデックスの中でもパフォーマンスが劣っています。

だからといって今後も日本株式のリターンが低くあり続けるわけではありません。

将来のリターンを予測するのは大変困難なことなので、個人投資家は広く分散した投資によって、リスクを低減するのが王道でしょう。

引き続き、投資信託による「コツコツ」積立投資で、安定的な資産形成を目指していきます。

引き続き積立投資の状況をリポートして参りますので、もしよろしければSNSでのシェアよろしくお願い致します！

「ブロックチェーンで監査はなくなる」という誤解について

こんにちは、毛糸です。

AIやブロックチェーンなど、新しいテクノロジーが次々と生まれては、またたくまにビジネスに適用されていくのが今の時代です。

テクノロジーは我々の仕事を効率化し、人間がより人間らしく働くことの後押しをしてくれると期待されていますが、一方で「仕事を奪われる」という脅威論もしばしば見られます。

この主張は果たして信じて良いのでしょうか。

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「AIで会計士の仕事（監査）はなくなるのか」に対するひとつの数理的整理

こんにちは、毛糸です。

AI（人工知能）という言葉が広く知られるようになり、Deep learningのようなブレイクスルーがビジネスにも応用されつつあります。

AIは時折「人間の仕事を奪う」という文脈で脅威的な存在として語られることもあり、2013年のカール・ベネディクト・フレイとマイケル A. オズボーンの論文
「THE FUTURE OF EMPLOYMENT: HOW SUSCEPTIBLE ARE JOBS TO COMPUTERISATION?」(pdfリンク)

では多くの職業がコンピュータに取って代わられる可能性があることが示されています。

論文内に示される代替確率ランキングでは、Bookkeeping, Accounting, and Auditing Clerks（簿記、会計および監査職員）は702の職業のうち、代替確率が低い順に671位、代替されやすさでいえば31位に上がっています。

こうした状況の中で「AIで会計士の仕事（監査）はなくなるのか」という話題がしばしば取り上げられます。

本記事ではこの問いに対して、会計の数理モデルに基づく整理を述べ、AIによる監査の代替について考察します。

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奨学型勉強会｜学びを対価としたパーソナルファイナンスの提案

こんにちは、毛糸です。

先日こういったつぶやきをしました。

最近、社会人の勉強会や学習・研究コミュニティが普及しています。

SNSの発達やチャット・通話・資料共有アプリの普及によって、同じ興味関心を持つ人が気軽に集まり勉強することが簡単にできるようになっています。

私も会計×ITを軸にしたコミュニティPyCPAの運営者のひとりとして勉強会を企画することもあります。

 

【参考記事】
PyCPAで勉強会を開催する、もしくはリクエストする方法

そんな社会環境の中で、「お金はあるけど時間がない社会人」と「お金はないけど時間はある学生」を上手くマッチングさせることができれば、相互にメリットのある勉強会ができるのではないか、というアイデアを思いつきました。

本記事ではこの「奨学型勉強会」についてまとめます。

 

社会人と学生の補完関係

社会人は経済的な余裕はありますが、業務に忙殺され、日々の生活の中で興味関心を深めていく余裕を持ちづらい人が多いことと思います。

専門的な勉強をするなら、ある程度腰を据えてテキストや論文に取り組む必要がありますが、多くの社会人には時間の捻出がハードルになりがちです。

【参考記事】
学習意欲を持ち続けるための心がけ４つ

繁忙期にも学びを止めないための3つの心がけ

この点、学生は社会人に比べ学術研究に割ける時間の割合が多く、興味関心を深める自由が比較的大きいと思われますが、一方で専門書は高価なものも多く、書籍の購入をためらうケースもあります。

ここに「お金はあるけど時間がない社会人」と「お金はないけど時間はある学生」という相互補完的な関係が見いだせます。

つまり、社会人がお金を出して学生を支援する代わりに、学生が社会人のために研究内容を提供するという関係が築ければ、両者が自分の足りない部分を補い、ともに知的欲求を満たすことができます。

 

奨学型勉強会の仕組み

具体的にどうするのかというと、次の通りです。

奨学型勉強会のイメージ

ます、社会人がお金を出し、テキストを学生に買い与えます。

学生はその対価として、テキストの内容を社会人に講義するような勉強会を行います。

奨学のための経済的支援と勉強会を両立するイベント、すなわち「奨学型勉強会」によって、マッチングが成立するのではないかというわけです。

社会人は気になるテキストの内容の要約を「お金で買う」ことができ、学生はアウトプットを約束する代わりにテキスト代を工面できます。

意欲ある学生ならば、きっとゼミなどで発表の場を持つでしょうから、この勉強会のために追加的な負担が生じることは少ないと思われます。

社会人側も、何人か集まって教科書代を工面するくらいであれば、比較的低負担に支援が行えるでしょう。

問題意識豊富な社会人と柔軟な発想の学生が共に勉強することで、新しいアイデアの創出にもつながると期待されます。

ちなみに、説明上「社会人」「学生」という言葉を使いましたが、資金提供者（パトロン）と発表者（奨学生）の区別がつきさえすれば、社会的役割に関係なく「奨学型勉強会」は行えるでしょう。

個人的にこの「奨学型勉強会」は是非やってみたいと思っており、現在テキストを選定中です。

パトロンとして・奨学生として賛同していただける方は、Twitterでお知らせください。

会計と保険数理のとある類似｜「サープラス」について

こんにちは、毛糸です。

最近、企業は配当をどのように決定しているのか？という疑問をよく考えます。

その疑問に答えるべく、経済学的なモデルを使って分析を行っているのですが、その中で会計と保険数理の共通点に気づきました。

会計と保険は「サープラス」というキーワードを、全く同じ概念として共有しています。

本記事では配当（dividend）をいくら支払うかという問題を、企業会計と保険数理の面から考えたときに現れる「サープラス」という共通点についてまとめます。

会計学におけるクリーンサープラス関係

企業（株式会社）の会計ルールにおいて、配当は純資産を分配する性格をもちます（実態としては現預金の支払いです）。

第\( t\)期の純資産額を\( B_t\)と表すことにすると、\( B_t\)は前期の純資産額\( B_{t-1}\)にその期の利益\( e_t\)を加え、そこからその期の配当\( d_t\)を支払ったのこりが\( B_t\)になるという関係が考えられます。

\begin{equation} \begin{split}
B_t=B_{t-1}+e_t-d_t
\end{split} \end{equation}

この関係をクリーンサープラス関係（Clean Surplus Relation）と言います。

サープラスとは「余剰」を意味し、会計学では資産から負債を引いた余剰、つまり純資産の変動が、利益と配当以外で「汚されていない（クリーンな）」状態を表しています。

日本の会計基準には、一部利益を介さず直接純資産を増減させる取引（その他有価証券評価差額金など）がありますので、クリーンサープラス関係は成り立っていませんが、会計数値と配当というキャッシュフローを結びつける関係式として重要です。

保険数理におけるサープラス過程

保険数理においては、保険会社の保険料収入から保険金の支払いを引いた残りをサープラスやリザーブと呼びます。
時点\( t\)におけるサープラス\( r_t\)は、取引開始時点のサープラス\( r_0\)に、それまでの累積保険料収入\( p(t)\)を加え、累積保険金支払い額\( U(t)\)を引いた額として決まります。
\begin{equation} \begin{split}
r_t=r_0+p(t)-U(t)
\end{split} \end{equation}

保険契約においては保険料収入のうち保険金支払いに充てられなかった超過分を配当として支払うものもあります。

この場合、サープラス\( r_t\)の一期前からの変化は、配当を\( d_t\)とすると

\begin{equation} \begin{split}
r_t=r_{t-1}+\Delta p(t)-\Delta U(t)-d_t
\end{split} \end{equation}

と表されます。\( \Delta p(t)\)と\( \Delta U(t)\)はそれぞれ、累積保険料と累積保険金支払い額の差分です。

このようにして決まるサープラスの列\( \left\{ r_t\right\}\)は、サープラス過程と呼ばれ、配当決定や倒産確率の計算に用いられます。

2つの「サープラス」の共通点

会計におけるクリーンサープラス関係

\begin{equation} \begin{split}
B_t=B_{t-1}+e_t-d_t
\end{split} \end{equation}
と、保険数理におけるサープラス過程の変動
\begin{equation} \begin{split}
r_t=r_{t-1}+\Delta p(t)-\Delta U(t)-d_t
\end{split} \end{equation}
は、その構造が極めて類似しています。

クリーンサープラス関係における利益\( e_t\)を、収益\( R_t\)と費用\( C_t\)とに分解して

\begin{equation} \begin{split}
B_t=B_{t-1}+R_t-C_t-d_t
\end{split} \end{equation}
と表現すれば、さらに対応関係がはっきりするでしょう。

「余剰の分配」という意味では、企業会計における配当も、保険契約における配当も、全く同じということがわかります。

これまでの・今後の研究

保険契約における配当をいかに決定するかという問題は比較的古くから、保険数理の問題として研究されており、クラメル・ルンドベルイモデルなどが有名です。

一方、企業会計における最適な配当に関する研究はそれほど進んでいないようです（MMの配当無関連性命題という古典的な結果はあります）。

いずれの問題も、最近は経済学の枠組みのなかで統一的に議論されており、確率制御問題の応用としての期待効用最大化問題の解として、最適配当が決定されます。

本ブログの記事「保険数理と金融工学の融合について」では、保険とファイナンスの接近についてまとめていますので、興味のある方は合わせて参照してみてください。

保険数理におけるサープラス過程と最適配当に関しては、Taskar2000 “Optimal risk and dividend distribution control models for an insurance company“に詳しく論じられています。

「年○％で回せるとすると」←いや、そのりくつはおかしい

こんにちは、毛糸です。

先日の金融庁が「老後に2,000万円必要です」という報告書を出して以降、SNSでは資産運用に関する話題が増えています。

【参考記事】
【年金は頼れない？】「老後までに2,000万」報告書を読んだあとに私たちが取るべき行動

とくに、インフルエンサーと呼ばれる人たちを中心に、インデックス投資などを勧める声が上がっており、良い傾向だと感じます。ただ、一部では正確な理解に基づかない発言も見られ、その最たる例が以下のような主張です。

年利○％で30年運用すれば、老後に2,000万円は余裕。

この○％には、3とか6とか下手すると10％とかいう数字が入ってくることが多いのですが、年利6％で30年間運用する、という仮定は、はっきりいって乱暴です。

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「米国株だけ買っておけばいい」という人は全然歴史に学んでない件

こんにちは、毛糸です。

先日の金融庁が「老後に2,000万円必要です」という報告書を出して以降、SNSでは資産運用に関する話題が増えています。

【参考記事】
【年金は頼れない？】「「老後までに2,000万」報告書を読んだあとに私たちが取るべき行動

とくに、インフルエンサーと呼ばれる人たちを中心に、インデックス投資などを勧める声が上がっており、良い傾向だと感じます。

ただ、一部では無理解な発言も見られ、その一例が以下のような主張です。

とにかく米国株に投資しておけばいいんだ！

最近、米国株式のパフォーマンスがよいことや、世界の時価総額ランキングの上位が米国企業ばかりであることなどを理由に、米国株だけ持っていればいいのだという結論に至る人が少なくないようです。

実際、2019/7/12のS&P500指数は3013.77ポイントで、

30年前329.81ポイントでしたから、

成長倍率は4倍超、

30年間の平均利回りに直すと年率7.6％を超える高いパフォーマンスになっています。

（出典：Google検索「S&P500」）

しかし、本当に米国株だけで安心なのでしょうか。
将来のことを予測するのは困難なので、このまま米国株式のハイパフォーマンスは続くかも知れませんし、近い将来頭打ちになるかも知れません。
ただ、一つ言えるのは、
「高いリターンと時価総額を誇った国の株が凋落した例はある」
ということです。
そう、我が国、日本です。
日本は高度経済成長時代に国力を増強させ、株式市場においても驚異的なパフォーマンスを発揮しました。
1959年において874.88ポイントだった日経平均株価は、
30年後の1989年に44倍の38,915.87ポイントを叩き出しました。
平均利回りに直すと年率13%を超えるハイパフォーマンスです。

(出典：日経平均株価（月次終値）https://plot.ly/~thyodo/72/#/)

残念ながらこのあとすぐにバブルは崩壊しますが、バブルの崩壊を予測できた一般人は、当時どれだけいたのでしょう。
当時の世界時価総額ランキングには日本株がひしめき合っており、その様相は現在の米国中心のランキングとよい対比になります。
日本の過去の例を見ると、現在高いパフォーマンスを上げている国の株式が、今後も繁栄し続けると考えるのは安易と言わざるを得ません。

米国株式についても同様に、今後いままでと同じような成長を続ける確証などどこにもないのです。

したがって、資産運用においては、米国株式一辺倒ではなく、複数の資産クラスに分散投資することが必要です。

ちなみに、「いままで良かったからといって、今後も良いとは限らない」のと同様、「いままで悪かったからといって、今後も悪いとは限らない」もまた真です。

具体的には、日本株式が今後も低迷を続けるかは神のみぞ知る事であり、世間の言うような「日本株は魅力的な投資対象ではない」というのも、疑ってかかるべき主張です。

【参考記事】
「日本株に投資すると長期的には損」は本当か？

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